Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
Informações dadas que vamos usar: a equação relaciona potências com base
e
; as incógnitas aparecem no expoente; a equação está definida para todo
porque potências com base positiva são definidas para qualquer expoente real. A pergunta explícita é: encontrar todos os valores de
que satisfazem a igualdade acima.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicada didaticamente): quando temos potências com bases diferentes, uma técnica comum é reescrever ambas com a mesma base, se possível. Aqui dá para escrever
como potência de
, pois
. Depois, com a mesma base no dois lados, usamos a propriedade de unicidade dos expoentes: se
,
e
, então
. Vou explicar essa propriedade com calma: a função exponencial
(com
,
) é injetora — isso significa que dois expoentes diferentes não podem produzir o mesmo valor da função; por isso, igualdade das potências implica igualdade dos expoentes.
Passo 3
Reescrevendo o lado direito usando
:
Passo 4
Aplicando a propriedade das potências
(explico: elevar uma potência a outra multiplica os expoentes; aqui
,
,
), obtemos:
Portanto a equação original fica
Passo 5
Agora usamos a propriedade de unicidade dos expoentes (já explicada): como as duas potências têm a mesma base
, basta igualar os expoentes:
Vou resolver essa equação linear passo a passo: primeiro expandimos o lado direito usando a distributiva,
Subtraindo
de ambos os lados para juntar termos com
,
Somando
em ambos os lados para isolar
,
Passo 6
Verificação (sempre bom checar na prova): substituímos
na equação inicial. Calculamos os expoentes:
Então as duas potências valem
Como ambas dão
, a igualdade se confirma. Uma forma numérica é
.
Passo 7
Conclusão: a única solução da equação é
. Confere com a verificação.