Determine o conjunto solução das seguintes equações:
2^{3 x-1}=4^{x-2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
2^{3x-1}=4^{x-2}.
Informações dadas que vamos usar: a equação relaciona potências com base 2 e 4; as incógnitas aparecem no expoente; a equação está definida para todo x\in\mathbb{R} porque potências com base positiva são definidas para qualquer expoente real. A pergunta explícita é: encontrar todos os valores de x que satisfazem a igualdade acima.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada didaticamente): quando temos potências com bases diferentes, uma técnica comum é reescrever ambas com a mesma base, se possível. Aqui dá para escrever 4 como potência de 2, pois 4=2^2. Depois, com a mesma base no dois lados, usamos a propriedade de unicidade dos expoentes: se a>0, a\neq1 e a^{u}=a^{v}, então u=v. Vou explicar essa propriedade com calma: a função exponencial a^t (com a>0, a\neq1) é injetora — isso significa que dois expoentes diferentes não podem produzir o mesmo valor da função; por isso, igualdade das potências implica igualdade dos expoentes.

Passo 3

Reescrevendo o lado direito usando 4=2^2:
4^{x-2} = (2^2)^{x-2}.

Passo 4

Aplicando a propriedade das potências (a^b)^c = a^{bc} (explico: elevar uma potência a outra multiplica os expoentes; aqui a=2, b=2, c=x-2), obtemos:
(2^2)^{x-2} = 2^{2(x-2)}.
Portanto a equação original fica
2^{3x-1} = 2^{2(x-2)}.

Passo 5

Agora usamos a propriedade de unicidade dos expoentes (já explicada): como as duas potências têm a mesma base 2, basta igualar os expoentes:
3x-1 = 2(x-2).
Vou resolver essa equação linear passo a passo: primeiro expandimos o lado direito usando a distributiva,
3x-1 = 2x - 4.
Subtraindo 2x de ambos os lados para juntar termos com x,
3x-2x -1 = -4 \quad\Rightarrow\quad x-1 = -4.
Somando 1 em ambos os lados para isolar x,
x = -4 + 1 = -3.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar na prova): substituímos x=-3 na equação inicial. Calculamos os expoentes:
3x-1 = 3(-3)-1 = -9-1 = -10,
x-2 = -3-2 = -5.
Então as duas potências valem
2^{3x-1} = 2^{-10},
4^{x-2} = 4^{-5} = (2^2)^{-5} = 2^{-10}.
Como ambas dão 2^{-10}, a igualdade se confirma. Uma forma numérica é 2^{-10}=\dfrac{1}{1024}.

Passo 7

Conclusão: a única solução da equação é x=-3. Confere com a verificação.

Resposta

\{-3\}

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