Determine o conjunto solução das seguintes equações:
2^{x-2}=\frac{8}{2^{x-3}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
2^{x-2}=\frac{8}{2^{x-3}}.
Informações dadas (explicitamente presentes no enunciado):
\text{Equação: }2^{x-2}=\frac{8}{2^{x-3}}.çã
Objetivo: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade (ou seja, o conjunto solução).

Passo 2

Vamos lembrar algumas propriedades de potências que usaremos (explicadas de forma bem didática):
  • Regra do produto de potências com mesma base: se a base é a e m,n são expoentes, então
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.
Aqui a é um número positivo diferente de 1 (por exemplo a=2), e m,n podem ser números quaisquer.
  • Expoente negativo: para qualquer a\neq 0 e qualquer n,
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Isto nos permite transformar divisões em multiplicações por potência de expoente negativo.
  • Igualdade de potências com mesma base: se a>0 e a\neq 1, então
a^{u}=a^{v}\iff u=v.
Ou seja, quando as bases são iguais e apropriadas (como 2), basta igualar os expoentes.

Passo 3

Aplicamos a regra do expoente negativo ao membro direito: escrever a divisão como multiplicação por potência negativa.
\frac{8}{2^{x-3}}=8\cdot 2^{-(x-3)}.

Passo 4

Escrevemos 8 como potência de 2, porque isso facilita comparar expoentes (note que 8=2^{3}):
8\cdot 2^{-(x-3)}=2^{3}\cdot 2^{-(x-3)}.

Passo 5

Agora usamos a regra do produto de potências para somar os expoentes:
2^{3}\cdot 2^{-(x-3)}=2^{\,3+ (-(x-3))}=2^{\,3-(x-3)}.
Simplificando o expoente:
3-(x-3)=3-x+3=6-x.
Portanto o membro direito ficou igual a 2^{6-x}.

Passo 6

Substituindo no enunciado, a equação original se transforma em
2^{x-2}=2^{6-x}.
A base é 2, que é positiva e diferente de 1, então podemos igualar os expoentes (pela propriedade explicada no Passo 2):
x-2=6-x.

Passo 7

Resolvemos a equação linear obtida. Somando x em ambos os lados:
x-2+ x = 6-x + x \implies 2x-2=6.
Agora somamos 2 em ambos os lados:
2x-2+2=6+2 \implies 2x=8.
Dividindo por 2:
x=\frac{8}{2}=4.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar): para x=4,
membro esquerdo:
2^{4-2}=2^{2}=4.
membro direito (usar 8/2^{4-3}):
\frac{8}{2^{4-3}}=\frac{8}{2^{1}}=\frac{8}{2}=4.
Como os dois lados coincidem, x=4 é realmente solução.

Resposta

\{4\}

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