Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
Informações dadas (explicitamente presentes no enunciado):
Objetivo: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa igualdade (ou seja, o conjunto solução).
Passo 2
Vamos lembrar algumas propriedades de potências que usaremos (explicadas de forma bem didática):
- Regra do produto de potências com mesma base: se a base é
e são expoentes, então
Aqui
é um número positivo diferente de 1 (por exemplo
), e
podem ser números quaisquer.
- Expoente negativo: para qualquer
e qualquer ,
Isto nos permite transformar divisões em multiplicações por potência de expoente negativo.
- Igualdade de potências com mesma base: se
e , então
Ou seja, quando as bases são iguais e apropriadas (como
), basta igualar os expoentes.
Passo 3
Aplicamos a regra do expoente negativo ao membro direito: escrever a divisão como multiplicação por potência negativa.
Passo 4
Escrevemos
como potência de
, porque isso facilita comparar expoentes (note que
):
Passo 5
Agora usamos a regra do produto de potências para somar os expoentes:
Simplificando o expoente:
Portanto o membro direito ficou igual a
.
Passo 6
Substituindo no enunciado, a equação original se transforma em
A base é
, que é positiva e diferente de
, então podemos igualar os expoentes (pela propriedade explicada no Passo 2):
Passo 7
Resolvemos a equação linear obtida. Somando
em ambos os lados:
Agora somamos
em ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom checar): para
,
membro esquerdo:
membro esquerdo:
membro direito (usar
):
Como os dois lados coincidem,
é realmente solução.