Determine o conjunto solução das seguintes equações:
9^{x-\frac{1}{2}}-\frac{4}{3^{1-x}}=-1

Passo 1

Enunciado: resolver a equação 9^{x-\frac{1}{2}}-\frac{4}{3^{1-x}}=-1.
O que é pedido: determinar o conjunto solução (todos os valores de x reais que satisfazem a equação).
Dados fornecidos: a expressão exponencial com base 9 e potências de 3. Não há restrições explícitas além das usuais (as potências estão definidas para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Vamos simplificar as potências trocando a base 9 por 3^2 e usando regras básicas de potência.
Regra usada: (a^b)^c = a^{bc}. Assim,
9^{x-\frac{1}{2}} = (3^2)^{x-\frac{1}{2}} = 3^{2\left(x-\frac{1}{2}\right)} = 3^{2x-1}.
Explicando passo a passo: multiplicamos o expoente x-\tfrac{1}{2} por 2, obtendo 2x-1.

Passo 3

Agora simplificamos \dfrac{4}{3^{1-x}}.
Regra usada: \dfrac{1}{a^{k}} = a^{-k}. Então
\frac{4}{3^{1-x}} = 4\cdot 3^{-(1-x)} = 4\cdot 3^{x-1}.
Portanto a equação original fica
3^{2x-1} - 4\cdot 3^{x-1} = -1.

Passo 4

Para transformar em uma equação algébrica, fazemos a substituição
t = 3^{x-1}.
Justificativa: 3^{x-1} aparece em dois lugares (diretamente e ao quadrado), então t vai reduzir a equação a um polinômio em t. Observação: t>0 para todo x, pois 3^{x-1}>0.

Passo 5

Expressamos 3^{2x-1} em termos de t.
Note que
3^{2x-1} = 3^{(2x-2)+1} = 3\cdot 3^{2x-2} = 3\cdot\bigl(3^{x-1}\bigr)^2 = 3t^2.
Assim a equação em t é
3t^2 - 4t = -1.

Passo 6

Colocamos em forma padrão e resolvemos a quadrática:
3t^2 - 4t + 1 = 0.
Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 3\cdot 1 = 16 - 12 = 4.
As raízes são
t = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2\cdot 3} = \frac{4\pm 2}{6}.
Logo
t = 1 \quad\text{ou}\quad t = \frac{1}{3}.
Ambas são positivas, compatíveis com t=3^{x-1}>0.

Passo 7

Voltamos à variável x. Resolvemos cada caso t=3^{x-1}.
Caso 1: 3^{x-1} = 1.
Propriedade usada: para a>0 e a\neq 1, a^u = a^v \iff u=v. Como 3^0=1, obtemos
x-1 = 0 \Rightarrow x = 1.

Passo 8

Caso 2: 3^{x-1} = \dfrac{1}{3} = 3^{-1}.
Aplicando a mesma ideia,
x-1 = -1 \Rightarrow x = 0.

Passo 9

Verificação (importante para ter confiança):
Para x=1:
9^{1-\tfrac{1}{2}} - \frac{4}{3^{1-1}} = 9^{\tfrac{1}{2}} - \frac{4}{3^0} = 3 - 4 = -1.
Para x=0:
9^{0-\tfrac{1}{2}} - \frac{4}{3^{1-0}} = 9^{-\tfrac{1}{2}} - \frac{4}{3} = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = -1.
Ambas satisfazem a equação original.

Resposta

x=0\n x=1

Exercícios relacionados