Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
Enunciado: resolver a equação
O que é pedido: determinar o conjunto solução (todos os valores de
reais que satisfazem a equação).
Dados fornecidos: a expressão exponencial com base e potências de
. Não há restrições explícitas além das usuais (as potências estão definidas para todo
).
Dados fornecidos: a expressão exponencial com base
Passo 2
Vamos simplificar as potências trocando a base
por
e usando regras básicas de potência.
Regra usada: . Assim,
Regra usada:
Explicando passo a passo: multiplicamos o expoente
por
, obtendo
.
Passo 3
Agora simplificamos
.
Regra usada: . Então
Regra usada:
Portanto a equação original fica
Passo 4
Para transformar em uma equação algébrica, fazemos a substituição
Justificativa:
aparece em dois lugares (diretamente e ao quadrado), então
vai reduzir a equação a um polinômio em
. Observação:
para todo
, pois
.
Passo 5
Expressamos
em termos de
.
Note que
Note que
Assim a equação em
é
Passo 6
Colocamos em forma padrão e resolvemos a quadrática:
Calculamos o discriminante
:
As raízes são
Logo
Ambas são positivas, compatíveis com
.
Passo 7
Voltamos à variável
. Resolvemos cada caso
.
Caso 1:
.
Propriedade usada: para e
,
. Como
, obtemos
Propriedade usada: para
Passo 8
Caso 2:
.
Aplicando a mesma ideia,
Aplicando a mesma ideia,
Passo 9
Verificação (importante para ter confiança):
Para :
Para
Para
:
Ambas satisfazem a equação original.