Determine o conjunto solução das seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações dadas e observações iniciais:
- A incógnita é
. - As bases
, e são potências de , o que sugere simplificação usando propriedades de potências. - A expressão está bem definida para todo
porque as bases são positivas.
Passo 2
Vamos usar propriedades de potência para reescrever termos com a mesma base. Lembre-se da propriedade:
Aplicando isso:
e
Portanto a equação original fica, ao substituir esses termos,
Passo 3
Elimino a fração multiplicando ambos os lados por
. Isso é permitido porque multiplicar por
é uma operação que preserva equivalência:
Passo 4
Observação útil:
e
. Para transformar a equação em uma forma algébrica mais familiar, faço a substituição
Explico:
é positivo (
) porque
para todo
. Com essa substituição:
Passo 5
Substituindo na equação do Passo 3 obtemos um polinômio em
:
Como
e
, a equação fica
Isso é uma equação quadrática. Vou resolver usando a fórmula quadrática. A fórmula diz que, para
, as raízes são
Aqui
,
,
. O discriminante é
Como
, as raízes são
Logo
ou
Passo 6
Voltando à variável original:
.
- Se
e , então . - Se
e , então .
Argumento de unicidade: a função
é estritamente crescente, logo cada valor positivo de
corresponde a exatamente um
. Assim não estamos perdendo nem ganhando soluções extras com a substituição.
Passo 7
Verificação rápida (confirmação, sempre boa antes da prova):
- Para
:
Confere.
- Para
:
Também confere. Portanto ambas as soluções são válidas.