Determine o conjunto solução das seguintes equações:
\frac{16^{x}+64}{5}=4^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem a equação
\frac{16^{x}+64}{5}=4^{x+1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A incógnita é x.
  • As bases 16, 64 e 4 são potências de 4, o que sugere simplificação usando propriedades de potências.
  • A expressão está bem definida para todo x\in\mathbb{R} porque as bases são positivas.

Passo 2

Vamos usar propriedades de potência para reescrever termos com a mesma base. Lembre-se da propriedade:
(a^{b})^{c}=a^{bc}.
Aplicando isso:
16^{x}=(4^{2})^{x}=4^{2x}
e
64=4^{3}.
Portanto a equação original fica, ao substituir esses termos,
\frac{4^{2x}+4^{3}}{5}=4^{x+1}.

Passo 3

Elimino a fração multiplicando ambos os lados por 5. Isso é permitido porque multiplicar por 5 é uma operação que preserva equivalência:
4^{2x}+4^{3}=5\cdot 4^{x+1}.

Passo 4

Observação útil: 4^{2x}=(4^{x})^{2} e 4^{x+1}=4\cdot 4^{x}. Para transformar a equação em uma forma algébrica mais familiar, faço a substituição
t=4^{x}.
Explico: t é positivo ( t>0) porque 4^{x}>0 para todo x. Com essa substituição:
4^{2x}=t^{2},
4^{x+1}=4\cdot 4^{x}=4t.

Passo 5

Substituindo na equação do Passo 3 obtemos um polinômio em t:
t^{2}+4^{3}=5\cdot 4t.
Como 4^{3}=64 e 5\cdot 4t=20t, a equação fica
t^{2}-20t+64=0.
Isso é uma equação quadrática. Vou resolver usando a fórmula quadrática. A fórmula diz que, para \,at^{2}+bt+c=0, as raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-20, c=64. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=(-20)^{2}-4\cdot1\cdot64=400-256=144.
Como \sqrt{144}=12, as raízes são
t=\frac{20\pm 12}{2}.
Logo
t=\frac{20+12}{2}=\frac{32}{2}=16
ou
t=\frac{20-12}{2}=\frac{8}{2}=4.

Passo 6

Voltando à variável original: t=4^{x}.
  • Se 4^{x}=16 e 16=4^{2}, então x=2.
  • Se 4^{x}=4 e 4=4^{1}, então x=1.
Argumento de unicidade: a função x\mapsto 4^{x} é estritamente crescente, logo cada valor positivo de t corresponde a exatamente um x. Assim não estamos perdendo nem ganhando soluções extras com a substituição.

Passo 7

Verificação rápida (confirmação, sempre boa antes da prova):
  • Para x=1:
\frac{16^{1}+64}{5}=\frac{16+64}{5}=\frac{80}{5}=16,
4^{1+1}=4^{2}=16.
Confere.
  • Para x=2:
\frac{16^{2}+64}{5}=\frac{256+64}{5}=\frac{320}{5}=64,
4^{2+1}=4^{3}=64.
Também confere. Portanto ambas as soluções são válidas.

Resposta

\{1,2\}

Exercícios relacionados