Determine o conjunto solução das seguintes equações:
3^{\mathrm{x}}+3^{\mathrm{x}-1}-3^{\mathrm{x}-2}=11

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da equação
3^{\mathrm{x}}+3^{\mathrm{x}-1}-3^{\mathrm{x}-2}=11.
Informações dadas:
3^{\mathrm{x}}+3^{\mathrm{x}-1}-3^{\mathrm{x}-2}=11.
O que se busca: todos os valores de \mathrm{x} que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Observação e ideia usada: quando temos termos exponenciais com a mesma base e expoentes que diferem por constantes, é conveniente fatorar um fator comum (uma potência de 3) para simplificar. Lembrete rápido da propriedade de potências que usamos aqui: para qualquer base a>0 e expoentes m,n,
a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n},
ou, escrevendo m=n+k,
a^{n+k}=a^{n}\cdot a^{k}.
Isso permite escrever cada termo da equação como um múltiplo de uma mesma potência de 3. Escrevendo cada termo em função de 3^{\mathrm{x}-2}:
3^{\mathrm{x}}=3^{\mathrm{x}-2}\cdot 3^{2},\qquad 3^{\mathrm{x}-1}=3^{\mathrm{x}-2}\cdot 3^{1},\qquad -3^{\mathrm{x}-2}=3^{\mathrm{x}-2}\cdot (-1).

Passo 3

Fatorando 3^{\mathrm{x}-2} na equação original temos:
3^{\mathrm{x}-2}\bigl(3^{2}+3^{1}-1\bigr)=11.
Calcule o que está dentro dos parênteses:
3^{2}=9,\qquad 3^{1}=3,\qquad 9+3-1=11.
Substituindo:
3^{\mathrm{x}-2}\cdot 11 = 11.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 11 (que é diferente de zero) obtemos
3^{\mathrm{x}-2}=1.
Agora usamos uma propriedade simples das potências de base 3>0: a função y\mapsto 3^{y} é estritamente crescente, com 3^{0}=1. Portanto a única solução de 3^{y}=1 é y=0. Aplicando com y=\mathrm{x}-2 temos
\mathrm{x}-2=0.
Assim
\mathrm{x}=2.

Passo 5

Verificação final (sempre faça isso na prova): substituindo \mathrm{x}=2 na equação original:
3^{2}+3^{1}-3^{0}=9+3-1=11,
que coincide com o lado direito. Logo \mathrm{x}=2 é solução válida.

Resposta

\mathrm{x}=2

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