Determine as curvas de nível para as funções
dadas. Represente no plano cartesiano.
Passo 1
Beleza! A questão é de Cálculo Multivariável, mais especificamente de curvas de nível. A ideia é: dado
, a gente quer achar todas as “curvas” no plano
em que
, pra cada constante
. Para isso vamos usar a definição de curva de nível e conhecer bem essa noção.
Passo 2
Definição de curva de nível: para uma função
, a curva de nível de valor
é o conjunto de pontos
que satisfazem
Ou seja, a gente pega a equação
e resolve em termos de
e
para ver como são essas curvas.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso, igualamos
onde
é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero). Agora isolamos
:
Pronto! Isso nos diz que, pra cada valor de
, a curva de nível é a reta que passa pela origem com coeficiente angular
.
Passo 4
Representação no plano cartesiano:
- Se
, a reta é , ou seja, o eixo . - Se
, são retas inclinadas pra cima, de ângulo com o eixo . - Se
, são retas inclinadas pra baixo, de ângulo .
Basta desenhar várias retaspara valores distintos de para visualizar as curvas de nível.
Resposta
As curvas de nível de
são as retas
para cada constante
.