Determine as curvas de nível para as funções f dadas. Represente no plano cartesiano.
f(x, y)=xy

Passo 1

Beleza! A questão é de Cálculo Multivariável, mais especificamente de curvas de nível. A ideia é: dado , a gente quer achar todas as “curvas” no plano em que , pra cada constante . Para isso vamos usar a definição de curva de nível e conhecer bem essa noção.

Passo 2

Definição de curva de nível: para uma função f(x,y) = k , a curva de nível de valor é o conjunto de pontos que satisfazem
Ou seja, a gente pega a equação e resolve em termos de e para ver como são essas curvas.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, igualamos
xy = k,
onde x = k,y é uma constante real (pode ser positiva, negativa ou zero). Agora isolamos :
Pronto! Isso nos diz que, pra cada valor de , a curva de nível é a reta que passa pela origem com coeficiente angular .

Passo 4

Representação no plano cartesiano:
  • Se , a reta é , ou seja, o eixo .
  • Se , são retas inclinadas pra cima, de ângulo com o eixo .
  • Se , são retas inclinadas pra baixo, de ângulo .
    Basta desenhar várias retas para valores distintos de para visualizar as curvas de nível.

Resposta

As curvas de nível de x = k,y, são as retas
para cada constante .

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