Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
w=z e^{x z}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
w(x,z) = z\,e^{x z}.
O que vamos usar:
– Regra do produto para funções de duas variáveis.
– Regra da cadeia para derivada de e^{u}.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}.
Aqui z é tratado como constante, então
\frac{\partial w}{\partial x} = z \,\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x z}\bigr) = z\bigl(z\,e^{x z}\bigr) = z^{2}e^{x z}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}.
Aplicamos regra do produto em z\cdot e^{x z}:
\frac{\partial w}{\partial z} = 1\cdot e^{x z} + z\cdot\frac{\partial}{\partial z}\bigl(e^{x z}\bigr) = e^{x z} + z\bigl(x\,e^{x z}\bigr) = \bigl(1 + x z\bigr)e^{x z}.

Resposta

\frac{\partial w}{\partial x} = z^{2}e^{x z}, \qquad \frac{\partial w}{\partial z} = \bigl(1 + x z\bigr)e^{x z}.

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