Determine as séries de Fourier das funções periódicas de Período T :
f(t)=1 \quad(-1<t<0) ; f(t)=-1 \quad(0<t<1), \quad T=2

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período T=2\) da função \[f(t)=\begin{cases} 1, & -1<t<0,\\\\ -1,& 0<t<1, \end{cases}
que se estende periodicamente. Vamos usar a forma de Fourier em ([-1,1]] com
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi t)+b_n\sin(n\pi t)\bigr),
onde
a_0=\int_{-1}^{1}f(t)\,dt,\quad a_n=\int_{-1}^{1}f(t)\cos(n\pi t)\,dt,\quad b_n=\int_{-1}^{1}f(t)\sin(n\pi t)\,dt.

Passo 2

Calculamos
a_0=\int_{-1}^{1}f(t)\,dt =\int_{-1}^{0}1\,dt+\int_{0}^{1}(-1)\,dt =(0-(-1)) +(-1-0)=1-1=0.

Passo 3

Observamos que f é função ímpar f(-t)=-f(t), então todos os coeficientes pares de cosseno desaparecem:
a_n=\int_{-1}^{1}f(t)\cos(n\pi t)\,dt=0\quad\forall n\ge1.

Passo 4

Calculamos
b_n=\int_{-1}^{1}f(t)\sin(n\pi t)\,dt =\int_{-1}^{0}1\cdot\sin(n\pi t)\,dt +\int_{0}^{1}(-1)\cdot\sin(n\pi t)\,dt.
Usando \displaystyle\int\sin(n\pi t)\,dt=-\frac{1}{n\pi}\cos(n\pi t), obtém-se
b_n = \Bigl[-\tfrac{1}{n\pi}\cos(n\pi t)\Bigr]_{-1}^{0} - \Bigl[-\tfrac{1}{n\pi}\cos(n\pi t)\Bigr]_{0}^{1} =\frac{2\bigl(\cos(n\pi)-1\bigr)}{n\pi} =\frac{2\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n\pi}.
Logo b_n=0 se n é par, e
b_n=-\tfrac{4}{n\pi}\quad\text{se \(n\) é ímpar.}éí

Resposta

f(t) =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\pi t) =\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(-\frac{4}{(2k+1)\pi}\Bigr)\, \sin\bigl((2k+1)\pi t\bigr).
Em forma mais explícita,
f(t)=-\frac{4}{\pi}\Bigl[\sin(\pi t)+\tfrac{1}{3}\sin(3\pi t) +\tfrac{1}{5}\sin(5\pi t)+\cdots\Bigr].

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