Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa das seguintes funções:
f(x)=3x+2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede que a gente ache o domínio, a imagem e a inversa da função
f(x)=3x+2
Isso envolve três coisas principais:
  1. Saber onde está definida (domínio).
  2. Entender quais valores a saída pode assumir (imagem).
  3. Achar uma nova função que “desfaça” .
Pra isso vamos precisar lembrar o básico de função racional (não dividir por zero) e de como inverter uma função (trocar e e isolar).

Passo 2

Determinar o domínio de x+2 neq 0 ;Longrightarrow; x neq -2 :
A única restrição vem do denominador Dom(f) = (-infty,-2)cup(-2,infty) . A gente não pode dividir por zero, então:
Logo, o domínio é menos o ponto , ou seja

Passo 3

Descobrir a imagem de y=3x+2 ;Longrightarrow; x+2=3y ;Longrightarrow; x=3y-2 :
Para funções tipo Im(f) = (-infty,0)cup(0,infty) , geralmente a saída não pode ser zero, porque não tem solução (não existe tal que ).
Mais formal: suponha . Se , isso daria , absurdo.
Por outro lado, para qualquer dá pra achar um que gere esse . Basta isolar:
Então a imagem é todos os reais, exceto zero:

Passo 4

Calcular a função inversa y=3x+2 :
  1. Primeiro trocamos y=3x+2 Longrightarrow x+2=3y Longrightarrow x=3y-2 por f^-1(x)=3x-2 :
  1. Agora isolamos em função de :
  1. Pra nomenclatura de inversa, a gente troca por , ficando:
Note que aqui o domínio de é todo , o que faz sentido porque a imagem de excluía o zero.

Resposta

Domínio:
Imagem:
Função inversa:

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