Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede que a gente ache o domínio, a imagem e a inversa da função
Isso envolve três coisas principais:
- Saber onde
está definida (domínio). - Entender quais valores a saída pode assumir (imagem).
- Achar uma nova função
que “desfaça” .
Pra isso vamos precisar lembrar o básico de função racional (não dividir por zero) e de como inverter uma função (trocar
e
e isolar).
Passo 2
Determinar o domínio de
:
A única restrição vem do denominador . A gente não pode dividir por zero, então:
A única restrição vem do denominador
Logo, o domínio é
menos o ponto
, ou seja
Passo 3
Descobrir a imagem de
:
Para funções tipo , geralmente a saída não pode ser zero, porque
não tem solução (não existe
tal que
).
Mais formal: suponha . Se
, isso daria
, absurdo.
Por outro lado, para qualquer dá pra achar um
que gere esse
. Basta isolar:
Para funções tipo
Mais formal: suponha
Por outro lado, para qualquer
Então a imagem é todos os reais, exceto zero:
Passo 4
Calcular a função inversa
:
- Primeiro trocamos
por :
- Agora isolamos
em função de :
- Pra nomenclatura de inversa, a gente troca
por , ficando:
Note que aqui o domínio de
é todo
, o que faz sentido porque a imagem de
excluía o zero.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Função inversa:
Imagem:
Função inversa: