Resolva as seguintes equações e inequações:
x+1x(x^2-1)<1x^2-1

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Resolver a inequação
x+1x,(x^2-1) ;<; 1x^2-1
Isso é uma inequação racional, ou seja, envolve frações com polinômios no denominador. Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Ver o domínio (onde essas frações fazem sentido).
  2. Colocar tudo em uma única fração (subtrair a segunda da primeira).
  3. Estudar o sinal dessa fração e achar onde ela é negativa.

Passo 2

Primeiro, domínio: não podemos ter divisão por zero.
  • Em xin(-infty,-1);cup;(-1,0);cup;(0,1);cup;(1,infty) , dá zero se x+1x(x^2-1) ;-;1x^2-1;<;0 ou x+1x(x^2-1) ;-;1x^2-1 =x+1x(x^2-1) ;-;xx(x^2-1) =(x+1)-xx(x^2-1) =1x(x^2-1) (ou seja, ).
  • Em , também .
    Logo, o conjunto onde a inequação “vale” é
Agora, vamos passar tudo para um lado:
O mínimo múltiplo comum dos denominadores é . Então escrevemos

Passo 3

A inequação vira então
1x(x^2-1);<;0
Isso significa que o denominador (-infty,-1)e(0,1) precisa ser negativo. Vamos distribuir os “zeros” em e montar um quadro de sinais:
Intervalo
Sinal de
Sinal de
Sinal de
Produto
A gente quer , ou seja, os intervalos onde o produto é negativo. Pelos sinais acima, dá negativo em

Resposta

A solução da inequação é
boxed(-infty,-1);cup;(0,1)

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