Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
\mathbf{r}(s, t)=\left\langle s, t, t^{2}-s^{2}\right\rangle

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada por \mathbf{r}(s,t)=\langle s,\;t,\;t^{2}-s^{2}\rangle.
O conteúdo é reconhecimento de superfícies quádricas via parámetro. Vamos eliminar os parâmetros para obter a forma cartesiana F(x,y,z)=0 e então classificar a superfície.

Passo 2

Identificamos x=s, y=t, z=t^{2}-s^{2}.
Substituindo s=x e t=y na expressão de z, obtemos a equação cartesiana
z = y^{2} - x^{2}.

Passo 3

A equação
z = y^{2} - x^{2}
é a forma padrão de um paraboloide hiperbólico (também chamado de superfície-sela), pois em uma direção há curvatura positiva y, e em outra há curvatura negativa x.

Resposta

A superfície é um paraboloide hiperbólico, de equação z = y^{2} - x^{2}.

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