Utilize o método de Newton para encontrar uma aproximação com precisão de 10^{-4} do valor de x que produza o ponto no gráfico de y=x^{2} mais próximo a (1,0). [Sugestão: minimize [d(x)]^{2}, onde d(x) representa a distância de \left(x, x^{2}\right) a (1,0).]

Passo 1

O enunciado pede o valor de x que minimiza a distância entre o ponto \bigl(x,x^{2}\bigr) e (1,0). Como minimizar d(x) ou d(x)^{2} dá o mesmo x, vamos definir
f(x) = \bigl(x-1\bigr)^{2} + \bigl(x^{2}\bigr)^{2} = (x-1)^{2} + x^{4}
e buscar a raiz de f'(x)=0 pelo método de Newton.

Passo 2

Calculamos as derivadas necessárias:
f'(x) = 2(x-1)\,+\,4x^{3} = 4x^{3} + 2x - 2,
f''(x) = 12x^{2} + 2.
No método de Newton, usamos
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f'(x_{n})}{f''(x_{n})}.

Passo 3

Precisamos de um chute inicial razoável. Como f'(0)=-2<0 e f'(1)=4>0, existe raiz em (0,1). Escolhemos x_{0}=1.

Passo 4

Iteramos até que \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<10^{-4}:
x_{1} = 1 \;-\;\frac{4\cdot1^{3}+2\cdot1-2}{12\cdot1^{2}+2} =\frac{10}{14}\approx 0,7143,
x_{2} \approx 0,7143 \;-\;\frac{4\cdot0,7143^{3}+2\cdot0,7143-2}{12\cdot0,7143^{2}+2} \approx 0,6054,
x_{3} \approx 0,6054 \;-\;\frac{4\cdot0,6054^{3}+2\cdot0,6054-2}{12\cdot0,6054^{2}+2} \approx 0,5900,
x_{4} \approx 0,5900 \;-\;\frac{4\cdot0,5900^{3}+2\cdot0,5900-2}{12\cdot0,5900^{2}+2} \approx 0,58976,
x_{5} \approx 0,58976 \;-\;\frac{4\cdot0,58976^{3}+2\cdot0,58976-2}{12\cdot0,58976^{2}+2} \approx 0,58981.
Aqui \lvert x_{5}-x_{4}\rvert\approx5\times10^{-5}<10^{-4}, então paramos.

Resposta

A aproximação de x com precisão 10^{-4} é
x \approx 0,5898.

Exercícios relacionados