Questão 1. Considere a seguinte função f(x)=x^{3}-3,25 x+1,71. Sabe-se que essa função possui uma única raiz no intervalo [0,4 ; 0,7].
a) Determine as três primeiras iterações do método da bisseção para aproximação da raiz de f(x) a partir do intervalo fornecido e preencha a tabela abaixo (apresente os resultados com arredondamento de 6 casas decimais);
Tabela 1: Três Iteradas do Método da Bisseção para determinar f(p)=0.
i a_{i} b_{i} p_{i} \operatorname{sgn}\left(f\left(a_{i}\right) \cdot f\left(p_{i}\right)\right)
1
2
3
b) Qual o erro máximo entre o valor obtido para p_{3} no item a e o valor verdadeiro? R: \qquad
c) Escreva a função para o método de Newton-Raphson que gera aproximações dos zeros de f(x).
d) Determine duas iterações do método de Newton-Raphson a partir da aproximação obtida na terceira iteração do item a.
p_{2}=
p_{1}=
e) Quantas iteradas a mais seriam necessárias utilizar no método da bisseção para garantir um erro menor que o valor obsoluto da diferença entre os dois valores obtidos pelo método de Newton-

Raphson?

Passo 1

O enunciado trata de encontrar a raiz da função
f(x) = x^3 - 3,25\,x + 1,71
no intervalo [0,4;0,7] usando inicialmente o método da bisseção (três iterações e erro máximo), depois formular o método de Newton–Raphson e aplicar duas iterações partindo de p_3, e finalmente comparar o erro de Newton com o critério de bisseção.

Passo 2

Aplicando o método da bisseção: de a_1=0,400000 e b_1=0,700000, definimos
p_i = \frac{a_i + b_i}{2},\quad \text{e avaliamos}\quad \operatorname{sgn}\bigl(f(a_i)\,f(p_i)\bigr).
Calculando e arredondando a 6 casas decimais, obtemos:
i =1: a_1=0,400000, b_1=0,700000 p_1=(0,400000+0,700000)/2=0,550000 f(0,400000)=0,474000, f(0,550000)=0,088875 \;\Rightarrow\;\operatorname{sgn}(f(a_1)f(p_1))=+ Intervalo seguinte: [a_2,b_2]=[0,550000;0,700000].
i =2: a_2=0,550000, b_2=0,700000 p_2=(0,550000+0,700000)/2=0,625000 f(0,625000)=-0,077109 \;\Rightarrow\;\operatorname{sgn}(f(a_2)f(p_2))=- Intervalo seguinte: [a_3,b_3]=[0,550000;0,625000].
i =3: a_3=0,550000, b_3=0,625000 p_3=(0,550000+0,625000)/2=0,587500 f(0,587500)=0,003291 \;\Rightarrow\;\operatorname{sgn}(f(a_3)f(p_3))=+ Intervalo após 3 iterações: [0,587500;0,625000].

Passo 3

O erro máximo no método da bisseção após 3 iterações é
\frac{b_1 - a_1}{2^3} = \frac{0,700000 - 0,400000}{8} = 0,037500.

Passo 4

Para Newton–Raphson usamos
f'(x) = 3x^2 - 3,25,
e definimos a iteração
\varphi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)} = x - \frac{x^3 - 3,25\,x + 1,71}{3x^2 - 3,25}.

Passo 5

Partindo de p_0 = p_3 = 0,587500, fazemos duas iterações:
p1:
f(p_0)=0,003291,\quad f'(p_0)=3(0,5875)^2 -3,25=-2,214532,
p_1 = 0,587500 - \frac{0,003291}{-2,214532} =0,588986\quad(\text{arred. a 6 d.})
p2:
f(p_1)=-0,000789,\quad f'(p_1)=3(0,588986)^2 -3,25=-2,209211,
p_2 = 0,588986 - \frac{-0,000789}{-2,209211} =0,588629\quad(\text{arred. a 6 d.})

Passo 6

Queremos N tal que o erro da bisseção seja menor que \lvert p_2 - p_1\rvert\approx0,000357.
\frac{0,700000-0,400000}{2^N} < 0,000357 \;\Longrightarrow\; 2^N > \frac{0,300000}{0,000357}\approx840{,}3 \;\Longrightarrow\; N>9{,}72
Logo N=10 iterações no total. Já fizemos 3, faltam
10 - 3 = 7
iterações a mais.

Resposta

a) Três iterações do método da bisseção:
i =1: a_1=0,400000,\;b_1=0,700000,\;p_1=0,550000,\;\operatorname{sgn}=+
i =2: a_2=0,550000,\;b_2=0,700000,\;p_2=0,625000,\;\operatorname{sgn}=-
i =3: a_3=0,550000,\;b_3=0,625000,\;p_3=0,587500,\;\operatorname{sgn}=+ b) Erro máximo: 0,037500 c) Iteração de Newton–Raphson:
\varphi(x) = x - \frac{x^3 - 3,25\,x + 1,71}{3x^2 - 3,25}
d) Duas iterações de Newton–Raphson a partir de p_3: p_1 = 0,588986 p_2 = 0,588629 e) Iterações de bisseção adicionais: 7 iteradas.

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