Questão 1. Considere a seguinte função
. Sabe-se que essa função possui uma única raiz no intervalo
.
a) Determine as três primeiras iterações do método da bisseção para aproximação da raiz de
a partir do intervalo fornecido e preencha a tabela abaixo (apresente os resultados com arredondamento de 6 casas decimais);
Tabela 1: Três Iteradas do Método da Bisseção para determinar
.
1
2
3
b) Qual o erro máximo entre o valor obtido para
no item a e o valor verdadeiro? R:
c) Escreva a função para o método de Newton-Raphson que gera aproximações dos zeros de
.
d) Determine duas iterações do método de Newton-Raphson a partir da aproximação obtida na terceira iteração do item a.
e) Quantas iteradas a mais seriam necessárias utilizar no método da bisseção para garantir um erro menor que o valor obsoluto da diferença entre os dois valores obtidos pelo método de Newton-
Raphson?
a) Determine as três primeiras iterações do método da bisseção para aproximação da raiz de
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1 | ||||
2 | ||||
3 |
c) Escreva a função para o método de Newton-Raphson que gera aproximações dos zeros de
d) Determine duas iterações do método de Newton-Raphson a partir da aproximação obtida na terceira iteração do item a.
Passo 1
O enunciado trata de encontrar a raiz da função
no intervalo
usando inicialmente o método da bisseção (três iterações e erro máximo), depois formular o método de Newton–Raphson e aplicar duas iterações partindo de
, e finalmente comparar o erro de Newton com o critério de bisseção.
Passo 2
Aplicando o método da bisseção: de
e
, definimos
Calculando e arredondando a 6 casas decimais, obtemos:
i
:
,
,
Intervalo seguinte:
.
i
:
,
Intervalo seguinte:
.
i
:
,
Intervalo após 3 iterações:
.
Passo 3
O erro máximo no método da bisseção após 3 iterações é
Passo 4
Para Newton–Raphson usamos
e definimos a iteração
Passo 5
Partindo de
, fazemos duas iterações:
p1:
p2:
Passo 6
Queremos
tal que o erro da bisseção seja menor que
.
Logo
iterações no total. Já fizemos 3, faltam
iterações a mais.
Resposta
a) Três iterações do método da bisseção:
i
:
i :
i :
b) Erro máximo:
c) Iteração de Newton–Raphson:
i
i
d) Duas iterações de Newton–Raphson a partir de
:
e) Iterações de bisseção adicionais:
iteradas.