Determine a função que expressa o volume do cone reto em função de sua geratriz x e do raio da base y.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar a fórmula do volume de um cone reto usando duas variáveis:
  • x = geratriz (slant height) do cone
  • y = raio da base
Conteúdo envolvido:
  1. Fórmula do volume de um cone reto
  2. Teorema de Pitágoras para relacionar altura, raio e geratriz
Vamos precisar lembrar que o volume de um cone é dado por
V = 13,pi,r^2,h
e usar Pitágoras no triângulo formador da seção lateral, pra achar a altura em função de e .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a fórmula básica do volume de um cone reto:
V = 13,pi,r^2,h
Aqui, é o raio da base (que é o do enunciado) e é a altura que ainda vamos achar.

Passo 3

Agora usamos o Teorema de Pitágoras no triângulo de lado h^2 + y^2 = x^2 :
h = raizx^2 - y^2
Isso nos dá
Ou seja, a altura do cone em função da geratriz e do raio é .

Passo 4

Basta substituir V(x,y) = 13,pi,(y)^2;l(raizx^2 - y^2r) = pi,y^2,raizx^2 - y^23 e na fórmula do volume:

Resposta

boxedV(x,y) = pi,y^2,raizx^2 - y^23

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