Determine se as funções a seguir são contínuas nos pontos dados. Se não for, justifique.
f(z)=z^2-1z-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente ver onde a função
é contínua. Isso é parte de Análise (continuidade de funções).
O que a gente vai usar:
  1. Definição de continuidade: a função é contínua num ponto se .
  2. Saber que soma, produto e quociente (quando o denominador não zera) de funções contínuas é contínua.
  3. Fazer simplificação algébrica de pra ver se aparece algum “buraquinho” (ponto onde não tá definida).

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o domínio de Dom(f)=zinCmid zneq 1 . O único problema é o denominador : ele não pode ser zero.
Então
Para qualquer , o numerador e o denominador são polinômios (que são contínuos), e o quociente de contínuas é contínuo desde que o denominador não zere.
Logo, em todo , é contínua.

Passo 3

Agora, o ponto z^2-1z-1 =(z-1)(z+1)z-1 =z+1, zneq1 .
  1. não está definido (denominador zero).
  2. Vamos ver o limite: Então
    .
    Mesmo a gente tendo , como não existe , não dá pra igualar os dois.
    Isso é um “ponto removível” de descontinuidade.

Resposta

é contínua para todo e não é contínua em , pois ali ela nem está definida (mesmo tendo limite).

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