Seja G=\left(S_{4}, \circ\right) o grupo das permutações de 4 elementos. Determine a ordem dos seguintes elementos do S_{4} :
\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado nos dá o grupo \bigl(S_{4},\circ\bigr) e pede a ordem do elemento
\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Para resolver, vamos usar o conceito de ordem de um elemento em grupo e a decomposição de permutações em ciclos disjuntos.

Passo 2

Construímos a notação cíclica de \sigma seguindo as imagens dos elementos:
  1. \sigma(1)=2, \sigma(2)=3, \sigma(3)=1 formam o ciclo (1\;2\;3).
  2. \sigma(4)=4 é um ciclo fixo (4).
    Logo,
\sigma = (1\;2\;3)(4).

Passo 3

A ordem de uma permutação é o mínimo k>0 tal que \sigma^{k}=\mathrm{id}. Em ciclos disjuntos, a ordem é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos comprimentos dos ciclos. Aqui temos ciclos de comprimentos 3 e 1, então
\mathrm{ord}(\sigma) = \mathrm{lcm}(3,1) = 3.

Resposta

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