Seja G=\left(S_{4}, \circ\right) o grupo das permutações de 4 elementos. Determine a ordem dos seguintes elementos do S_{4} : \left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right);
Passo 1
O enunciado nos dá o grupo \bigl(S_{4},\circ\bigr) e pede a ordem do elemento
Para resolver, vamos usar o conceito de ordem de um elemento em grupo e a decomposição de permutações em ciclos disjuntos.
Passo 2
Construímos a notação cíclica de \sigma seguindo as imagens dos elementos:
\sigma(1)=2, \sigma(2)=3, \sigma(3)=1 formam o ciclo (1\;2\;3).
\sigma(4)=4 é um ciclo fixo (4).
Logo,
\sigma = (1\;2\;3)(4).
Passo 3
A ordem de uma permutação é o mínimo k>0 tal que \sigma^{k}=\mathrm{id}. Em ciclos disjuntos, a ordem é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos comprimentos dos ciclos. Aqui temos ciclos de comprimentos 3 e 1, então