Mostre que os grupos
e (
) são isomorfos.
Dica: utilize o homomorfismo
tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os grupos
e
são isomorfos. O conteúdo é teoria de grupos abelianos e isomorfismos de grupos; vamos usar o homomorfismo sugerido
Passo 2
Mostramos que
preserva a operação de soma. Para quaisquer
,
Logo,
é um homomorfismo de grupos.
Passo 3
Verificamos que
é injetora, checando o núcleo:
Como
em
implica
e
, temos
. Assim,
é injetora.
Passo 4
Verificamos que
é sobrejetora: dado
, escrevemos
com
. Então
logo todo elemento de
tem um antecedente em
. Portanto,
é sobrejetora.
Resposta
Como
é homomorfismo, injetora e sobrejetora, concluímos que
é um isomorfismo de grupos entre
e
.