Mostre que os grupos (\mathbb{R} \times \mathbb{R},+) e ( \mathbb{C},+ ) são isomorfos.
Dica: utilize o homomorfismo
\varphi: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{C}
tal que
\varphi(a, b)=a+b \sqrt{-1} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os grupos \bigl(\mathbb{R}\times\mathbb{R},+\bigr) e \bigl(\mathbb{C},+\bigr) são isomorfos. O conteúdo é teoria de grupos abelianos e isomorfismos de grupos; vamos usar o homomorfismo sugerido
\varphi\colon \mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{C}, \qquad \varphi(a,b)=a + b\,\sqrt{-1}.

Passo 2

Mostramos que \varphi preserva a operação de soma. Para quaisquer (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R},
\varphi\bigl((a,b)+(c,d)\bigr) =\varphi(a+c,\,b+d) =(a+c)+(b+d)i =(a+bi)+(c+di) =\varphi(a,b)+\varphi(c,d).
Logo, \varphi é um homomorfismo de grupos.

Passo 3

Verificamos que \varphi é injetora, checando o núcleo:
\ker\varphi=\{(a,b)\mid \varphi(a,b)=0\} =\{(a,b)\mid a+bi=0\}.
Como a+bi=0 em \mathbb{C} implica a=0 e b=0, temos \ker\varphi=\{(0,0)\}. Assim, \varphi é injetora.

Passo 4

Verificamos que \varphi é sobrejetora: dado z\in\mathbb{C}, escrevemos z=x+yi com x,y\in\mathbb{R}. Então
\varphi(x,y)=x+yi=z,
logo todo elemento de \mathbb{C} tem um antecedente em \mathbb{R}\times\mathbb{R}. Portanto, \varphi é sobrejetora.

Resposta

Como \varphi é homomorfismo, injetora e sobrejetora, concluímos que \varphi é um isomorfismo de grupos entre \bigl(\mathbb{R}\times\mathbb{R},+\bigr) e \bigl(\mathbb{C},+\bigr).

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