Determine um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) associada, de tal forma que forall x0 in(a, b) a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo linear (MIL) com tolerância epsilon <= 1.10^-3.
f3(x)=e^x / 2-x^3

Passo 1

O enunciado pede para usar o Método Iterativo Linear (MIL) em f₃(x)=e^{x/2}−x³, isto é, definir φ(x)=x+λ·f₃(x) e escolher um intervalo (a,b) onde φ seja contração, garantindo convergência ao zero de f₃ com tolerância ε≤10⁻³.

Passo 2

Primeiro, localizamos o zero de f₃. Observando f₃(1)=e^{0.5}−1≈0.6487>0 e f₃(1.5)=e^{0.75}−(1.5)³≈−1.258<0, concluímos que existe uma raiz em (1,1.5), e refinando chegamos a cerca de 1.227.

Passo 3

Calculamos f₃’(x)= e^x/2/2−3x²². Em x∈[1,1.3] temos f₃’(x)∈[−4.11,−2.18], ou seja, sempre negativo.

Passo 4

Para que φ seja uma contração, precisamos |φ’(x)|=|1+λ·f₃’(x)|<1 para todo x em (a,b). Como f₃’(x) está entre −4.11 e −2.18, impomos 1−4.11λ>−1 ⇒ λ<0.486.

Passo 5

Escolhendo λ=0.4, obtemos φ’(x)=1+0.4·f₃’(x)∈[1−0.4·4.11,1−0.4·2.18]=[−0.644,0.128], logo |φ’(x)|≤0.644<1, garantindo a contração em (1,1.3).

Passo 6

Concluímos que, para qualquer x₀∈(1,1.3), a iteração x_{n+1}=φ(x_n) converge ao zero de f₃, respeitando ε≤10⁻³.

Resposta

(a,b)= (1,1.3), varphi(x)=x+0.4l(e^x/2-x^3r).

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