Use o método da bisecção para encontrar um zero da função
com erro menor que 0,2 nos seguintes intervalos:
Passo 1
O enunciado pede: usar o método da bissecção para encontrar um zero da função
no intervalo
com erro menor que
.
Informações dadas:
-
. - Intervalo inicial:
e . - Tolerância (erro desejado):
.
Passo 2
O método da bissecção (de forma simples e prática) funciona assim:
- Se
e tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (teorema do valor intermédio). - Calcule o ponto médio
e avalie . - Substitua o intervalo
por ou dependendo de onde ocorre a troca de sinal (isto é, o subintervalo onde tem valores de sinais opostos). - Repita até que o comprimento do intervalo seja suficientemente pequeno para garantir o erro pedido.
Erro e número de iterações:
- Após
iterações o comprimento do intervalo é . - Se tomarmos como aproximação o ponto médio do último intervalo, a distância máxima entre essa aproximação e a raiz verdadeira é no máximo metade do comprimento do intervalo, i.e.
. - Para garantir erro menor que
podemos exigir, por exemplo, (esta condição é mais forte que a de metade do intervalo neste contexto e leva a um número de iterações seguro). Vamos usar a forma simples
Passo 3
Verificar existência de raiz no intervalo inicial calculando
e
.
Calcule
:
Calcule
:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 4
Calcular o número mínimo de iterações
exigido pela desigualdade
Aqui
. Então queremos
Como
e
, basta
iterações para garantir a condição. Portanto faremos 4 iterações da bissecção.
Passo 5
Executar as iterações (cada passo mostra o ponto médio, o valor de
e a escolha do novo intervalo).
Iteração 1:
Calcular
:
Como
e
, a raiz está em
. Novo intervalo:
Iteração 2:
Calcular
:
Como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
Iteração 3:
Calcular
:
Como
, a raiz está em
. Novo intervalo:
Iteração 4:
Calcular
:
Aqui
, enquanto
. Então, após 4 iterações temos o intervalo
Passo 6
Verificar o erro:
- Comprimento do intervalo após 4 iterações:
- A aproximação padrão é o ponto médio desse intervalo:
- A distância máxima entre
e a raiz verdadeira é no máximo metade do comprimento do intervalo:
Portanto a aproximação
satisfaz o requisito de erro menor que
. (Note que a condição usada no Passo 4 garantia já diretamente que o comprimento do intervalo seria
, e aqui vimos que o erro real é bem menor.)