Use o método da bisecção para encontrar um zero da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{3}- 7 x^{2}+14 x-6 com erro menor que 0,2 nos seguintes intervalos:
[1 ; 3,2]

Passo 1

O enunciado pede: usar o método da bissecção para encontrar um zero da função \mathrm{f}(\mathrm{x}) = x^{3} - 7x^{2} + 14x -6 no intervalo [1;3,2] com erro menor que 0,2.
Informações dadas:
  • \mathrm{f}(\mathrm{x}) = x^{3} - 7x^{2} + 14x -6.
  • Intervalo inicial: a_{0}=1 e b_{0}=3,2.
  • Tolerância (erro desejado): \varepsilon = 0,2.

Passo 2

O método da bissecção (de forma simples e prática) funciona assim:
  • Se \mathrm{f}(a) e \mathrm{f}(b) tiverem sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em [a,b] (teorema do valor intermédio).
  • Calcule o ponto médio m = \dfrac{a+b}{2} e avalie \mathrm{f}(m).
  • Substitua o intervalo [a,b] por [a,m] ou [m,b] dependendo de onde ocorre a troca de sinal (isto é, o subintervalo onde \mathrm{f} tem valores de sinais opostos).
  • Repita até que o comprimento do intervalo seja suficientemente pequeno para garantir o erro pedido.
Erro e número de iterações:
  • Após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}.
  • Se tomarmos como aproximação o ponto médio do último intervalo, a distância máxima entre essa aproximação e a raiz verdadeira é no máximo metade do comprimento do intervalo, i.e. \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n+1}}.
  • Para garantir erro menor que \varepsilon podemos exigir, por exemplo, \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}} < \varepsilon (esta condição é mais forte que a de metade do intervalo neste contexto e leva a um número de iterações seguro). Vamos usar a forma simples
\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}} < \varepsilon.

Passo 3

Verificar existência de raiz no intervalo inicial calculando \mathrm{f}(1) e \mathrm{f}(3,2).
Calcule \mathrm{f}(1):
\mathrm{f}(1) = 1^{3} - 7\cdot1^{2} + 14\cdot1 - 6 = 1 - 7 + 14 - 6 = 2.
Calcule \mathrm{f}(3,2):
3,2^{2} = 10,24,\qquad 3,2^{3} = 32,768.
\mathrm{f}(3,2) = 32,768 - 7\cdot10,24 + 14\cdot3,2 - 6 = 32,768 - 71,68 + 44,8 - 6 = -0,112.
Como \mathrm{f}(1)=2 > 0 e \mathrm{f}(3,2) \approx -0,112 < 0, existe pelo menos uma raiz em [1,3,2].

Passo 4

Calcular o número mínimo de iterações n exigido pela desigualdade
\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}} < \varepsilon.
Aqui b_{0}-a_{0} = 3,2 - 1 = 2,2. Então queremos
\frac{2,2}{2^{n}} < 0,2 \quad\Rightarrow\quad 2^{n} > \frac{2,2}{0,2} = 11.
Como 2^{3}=8<11 e 2^{4}=16>11, basta n=4 iterações para garantir a condição. Portanto faremos 4 iterações da bissecção.

Passo 5

Executar as iterações (cada passo mostra o ponto médio, o valor de \mathrm{f} e a escolha do novo intervalo).
Iteração 1:
a_{1}=1,\quad b_{1}=3,2,\quad m_{1}=\frac{1+3,2}{2}=2,1.
Calcular \mathrm{f}(2,1):
2,1^{2}=4,41,\quad 2,1^{3}=9,261.
\mathrm{f}(2,1)=9,261 - 7\cdot4,41 + 14\cdot2,1 - 6 = 9,261 - 30,87 + 29,4 - 6 = 1,791.
Como \mathrm{f}(2,1)=1,791>0 e \mathrm{f}(3,2)<0, a raiz está em [2,1;3,2]. Novo intervalo:
a_{2}=2,1,\quad b_{2}=3,2.
Iteração 2:
m_{2}=\frac{2,1+3,2}{2}=2,65.
Calcular \mathrm{f}(2,65):
2,65^{2}=7,0225,\quad 2,65^{3}=18,616625.
\mathrm{f}(2,65)=18,616625 - 7\cdot7,0225 + 14\cdot2,65 -6 =18,616625 -49,1575 +37,1 -6 = 0,559125.
Como \mathrm{f}(2,65)>0, a raiz está em [2,65;3,2]. Novo intervalo:
a_{3}=2,65,\quad b_{3}=3,2.
Iteração 3:
m_{3}=\frac{2,65+3,2}{2}=2,925.
Calcular \mathrm{f}(2,925):
2,925^{2}=8,555625,\quad 2,925^{3}=25,025203125.
\mathrm{f}(2,925)=25,025203125 -7\cdot8,555625 +14\cdot2,925 -6 =25,025203125 -59,889375 +40,95 -6 = 0,085828125.
Como \mathrm{f}(2,925)>0, a raiz está em [2,925;3,2]. Novo intervalo:
a_{4}=2,925,\quad b_{4}=3,2.
Iteração 4:
m_{4}=\frac{2,925+3,2}{2}=3,0625.
Calcular \mathrm{f}(3,0625):
3,0625^{2}=9,37890625,\quad 3,0625^{3}=28,722900390625.
\mathrm{f}(3,0625)=28,722900390625 -7\cdot9,37890625 +14\cdot3,0625 -6 =28,722900390625 -65,65234375 +42,875 -6 = -0,054443359375.
Aqui \mathrm{f}(3,0625)<0, enquanto \mathrm{f}(2,925)>0. Então, após 4 iterações temos o intervalo
[a_{5},b_{5}] = [2,925;\;3,0625].

Passo 6

Verificar o erro:
  • Comprimento do intervalo após 4 iterações:
b_{5}-a_{5} = 3,0625 - 2,925 = 0,1375.
  • A aproximação padrão é o ponto médio desse intervalo:
m = \frac{2,925 + 3,0625}{2} = 2,99375.
  • A distância máxima entre m e a raiz verdadeira é no máximo metade do comprimento do intervalo:
\text{erro máximo} \le \frac{0,1375}{2} = 0,06875 < 0,2.á
Portanto a aproximação m = 2,99375 satisfaz o requisito de erro menor que 0,2. (Note que a condição usada no Passo 4 garantia já diretamente que o comprimento do intervalo seria <0,2, e aqui vimos que o erro real é bem menor.)

Resposta

x \approx 2,99375

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