Use o método da bisecção para encontrar um zero da função
com erro menor que 0,2 nos seguintes intervalos:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar, pelo método da bissecção, um zero de
no intervalo
com erro menor que
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Intervalo inicial:
e . - A função está explicitamente dada acima.
- O objetivo é produzir uma aproximação
tal que o erro máximo garantido (pela bissecção) seja menor que .
Passo 2
Explicando o método da bissecção (aula rápida e prática):
- A bissecção exige que
e tenham sinais opostos; então existe pelo menos uma raiz no intervalo . - Em cada iteração toma-se o ponto médio
. Se termina; se tem o mesmo sinal que escolhe-se o subintervalo , caso contrário escolhe-se . Assim o intervalo que contém a raiz é sempre bissetado. - O comprimento do intervalo após
iterações é . A aproximação usual é o ponto médio do intervalo atual; a garantia de erro (distância entre essa aproximação e a raiz verdadeira) é no máximo metade do comprimento do intervalo atual, ou seja
- Aqui
. Queremos . Vamos achar :
Como
, basta
iterações. Ou seja, com duas iterações a metade do comprimento do intervalo final será
.
Passo 3
Verificação inicial (sinal em extremos) e primeira iteração.
- Calcular
e :
Como
e
há mudança de sinal e, portanto, existe ao menos uma raiz em
.
Primeira iteração:
- Ponto médio
. - Avaliar
. Calculando passo a passo:
Passando a oitavos:
Portanto
.
- Como
tem o mesmo sinal que (ambos negativos), a raiz está no subintervalo — mais precisamente em . Após essa iteração o novo intervalo é , . O comprimento deste intervalo é e a metade é (ainda maior que ), então precisamos prosseguir.
Passo 4
Segunda iteração:
- Ponto médio do novo intervalo:
. - Avaliar
. Calculemos de forma clara:
Convertendo para sessenta e quatro avos:
Somando:
- Como
e , a raiz está no subintervalo . Portanto após duas iterações temos o intervalo , .
Passo 5
Conclusão prática e estimativa final:
- O intervalo depois de duas iterações é
. O comprimento desse intervalo é e a metade é . - A garantia de erro da bissecção diz que a distância entre o ponto médio do intervalo atual e a raiz verdadeira é no máximo
, e . Logo a condição do enunciado (erro menor que ) está satisfeita. - A aproximação natural a reportar é o ponto médio do intervalo final:
- Conclusão: após duas iterações obtém-se
com erro garantido menor que . (Se quiser reduzir ainda mais o erro basta iterar mais vezes; a cada iteração o erro máximo é dividido por .)