Use o método da bisecção para encontrar um zero da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{3}- 7 x^{2}+14 x-6 com erro menor que 0,2 nos seguintes intervalos:
[0,1]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-7x^{2}+14x-6
e pede para encontrar, pelo método da bissecção, um zero de f no intervalo [0,1] com erro menor que 0,2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Intervalo inicial: a_{0}=0 e b_{0}=1.
  • A função está explicitamente dada acima.
  • O objetivo é produzir uma aproximação x^{*} tal que o erro máximo garantido (pela bissecção) seja menor que 0,2.

Passo 2

Explicando o método da bissecção (aula rápida e prática):
  • A bissecção exige que f(a_{0}) e f(b_{0}) tenham sinais opostos; então existe pelo menos uma raiz no intervalo [a_{0},b_{0}].
  • Em cada iteração toma-se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(m)=0 termina; se f(m) tem o mesmo sinal que f(a) escolhe-se o subintervalo [m,b], caso contrário escolhe-se [a,m]. Assim o intervalo que contém a raiz é sempre bissetado.
  • O comprimento do intervalo após n iterações é \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}. A aproximação usual é o ponto médio do intervalo atual; a garantia de erro (distância entre essa aproximação e a raiz verdadeira) é no máximo metade do comprimento do intervalo atual, ou seja
\text{erro máximo} \le \frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n+1}}.á
  • Aqui b_{0}-a_{0}=1. Queremos \dfrac{1}{2^{n+1}}<0,2. Vamos achar n:
\frac{1}{2^{n+1}}<0,2 \quad\Longrightarrow\quad 2^{n+1} > \frac{1}{0,2}=5.
Como 2^{2+1}=2^{3}=8>5, basta n=2 iterações. Ou seja, com duas iterações a metade do comprimento do intervalo final será <0,2.

Passo 3

Verificação inicial (sinal em extremos) e primeira iteração.
  • Calcular f(a_{0}) e f(b_{0}):
f(0)=0^{3}-7\cdot0^{2}+14\cdot0-6=-6,
f(1)=1^{3}-7\cdot1^{2}+14\cdot1-6=1-7+14-6=2.
Como f(0)=-6<0 e f(1)=2>0 há mudança de sinal e, portanto, existe ao menos uma raiz em [0,1].
Primeira iteração:
  • Ponto médio m_{1}=\dfrac{0+1}{2}= \,0,5.
  • Avaliar f(m_{1})=f\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Calculando passo a passo:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}-7\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}+14\left(\tfrac{1}{2}\right)-6 =\tfrac{1}{8}-7\cdot\tfrac{1}{4}+7-6.
Passando a oitavos:
\tfrac{1}{8}-\tfrac{14}{8}+\tfrac{56}{8}-\tfrac{48}{8}=\tfrac{1-14+56-48}{8}=\tfrac{-5}{8}=-0,625.
Portanto f(0,5)=-0,625<0.
  • Como f(0,5) tem o mesmo sinal que f(0) (ambos negativos), a raiz está no subintervalo [0,5,\,1] — mais precisamente em [0{,}5,\,1]. Após essa iteração o novo intervalo é a_{1}=0{,}5, b_{1}=1. O comprimento deste intervalo é 0{,}5 e a metade é 0{,}25 (ainda maior que 0{,}2), então precisamos prosseguir.

Passo 4

Segunda iteração:
  • Ponto médio do novo intervalo: m_{2}=\dfrac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
  • Avaliar f(m_{2})=f\!\left(\tfrac{3}{4}\right). Calculemos de forma clara:
f\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=\left(\tfrac{3}{4}\right)^{3}-7\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}+14\left(\tfrac{3}{4}\right)-6.
Convertendo para sessenta e quatro avos:
\left(\tfrac{3}{4}\right)^{3}=\tfrac{27}{64},\quad 7\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}=7\cdot\tfrac{9}{16}=\tfrac{63}{16}=\tfrac{252}{64},
14\left(\tfrac{3}{4}\right)=\tfrac{42}{4}=\tfrac{21}{2}=\tfrac{672}{64},\quad 6=\tfrac{384}{64}.
Somando:
f\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=\frac{27-252+672-384}{64}=\frac{63}{64}=0,984375>0.
  • Como f(0{,}75)>0 e f(0{,}5)<0, a raiz está no subintervalo [0{,}5,\,0{,}75]. Portanto após duas iterações temos o intervalo a_{2}=0{,}5, b_{2}=0{,}75.

Passo 5

Conclusão prática e estimativa final:
  • O intervalo depois de duas iterações é [0{,}5,\,0{,}75]. O comprimento desse intervalo é 0{,}25 e a metade é 0{,}125.
  • A garantia de erro da bissecção diz que a distância entre o ponto médio do intervalo atual e a raiz verdadeira é no máximo 0{,}125, e 0{,}125<0{,}2. Logo a condição do enunciado (erro menor que 0{,}2) está satisfeita.
  • A aproximação natural a reportar é o ponto médio do intervalo final:
x^{*}=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625=\frac{5}{8}.
  • Conclusão: após duas iterações obtém-se x^{*}=\tfrac{5}{8}=0{,}625 com erro garantido menor que 0{,}2. (Se quiser reduzir ainda mais o erro basta iterar mais vezes; a cada iteração o erro máximo é dividido por 2.)

Resposta

\,x^{*}=\dfrac{5}{8}=0,625

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