Determine intervalos que contenham soluções das seguintes equações e confirme se os intervalos possuem somente uma raiz.
a) x-3^{-x}=0

Passo 1

O enunciado pede para localizar um intervalo que contenha a solução de
x - 3^{-x} = 0
e confirmar que há só uma raiz nele. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para achar onde muda o sinal de f(x)=x-3^{-x} e em seguida analisar a derivada para garantir unicidade.

Passo 2

Definimos
f(x)=x-3^{-x}.
Calculamos em pontos convenientes:
f(0)=0-3^{0}=-1,
f(1)=1-3^{-1}=1-\tfrac13=\tfrac23>0.
Como f(0)<0 e f(1)>0, o Teorema do Valor Intermediário garante pelo menos uma raiz em (0,1).

Passo 3

Para ver que há exatamente uma raiz, examinamos a monotonicidade de f.
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x-3^{-x}\bigr) =1 - (-\ln3)\,3^{-x} =1+\ln(3)\,3^{-x}.
Como \ln(3)>0 e 3^{-x}>0 para todo x, temos f'(x)>0 em \mathbb{R}. Assim f é estritamente crescente, logo só cruza o zero uma vez.

Resposta

O único intervalo necessário é (0,1), que contém a única raiz de x-3^{-x}=0.

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