Determine as inversas das seguintes funções, se existirem:
f(x)=5x^2+1 x >= 0

Passo 1

Beleza! Temos a função
f(x)=5x^2+1, x>= 0
O conteúdo é “função inversa”: a gente precisa ver se dá pra “desfazer” essa função (se ela for bijetora) e, em caso positivo, achar . Para isso vamos precisar saber:
  1. Qual é o domínio e a imagem de .
  2. Se ela é injetora (cada valor de saída só sai de um ).
  3. Resolver a equação para .
A partir do próximo passo a gente parte pra resolução mesmo.

Passo 2

Primeiro, domínio e imagem:
  • Domínio: (já dado).
  • Quando cresce, cresce, então cai.
    • Em , .
    • Quando , e .
      Então a imagem é .
Como é contínua e estritamente decrescente em , ela é injetora e atinge todo valor de . Logo tem inversa com domínio e imagem .

Passo 3

Agora vamos achar y=5x^2+1 . Começamos trocando y,(x^2+1)=5 por y,x^2 + y = 5 :
y,x^2 = 5 - y Longrightarrow x^2 = 5-yy = 5y-1
Queremos isolar x = raiz5y-1 .
  1. Multiplica em ambos os lados por :
  1. Abre o parênteses:
  1. Isole :
  1. Como , pegamos a raiz positiva:
Pronto! Esse em função de é a inversa.

Resposta

boxedf^-1(y)=raiz5y-1, 0

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