Determine as inversas das seguintes funções, se existirem:
Passo 1
Beleza! Temos a função
O conteúdo é “função inversa”: a gente precisa ver se dá pra “desfazer” essa função (se ela for bijetora) e, em caso positivo, achar
. Para isso vamos precisar saber:
- Qual é o domínio e a imagem de
. - Se ela é injetora (cada valor de saída só sai de um
). - Resolver a equação
para .
A partir do próximo passo a gente parte pra resolução mesmo.
Passo 2
Primeiro, domínio e imagem:
- Domínio:
(já dado). - Quando
cresce, cresce, então cai. - Em
, . - Quando
, e .
Então a imagem é.
- Em
Como
é contínua e estritamente decrescente em
, ela é injetora e atinge todo valor de
. Logo tem inversa com domínio
e imagem
.
Passo 3
Agora vamos achar
. Começamos trocando
por
:
Queremos isolar
.
- Multiplica em ambos os lados por
:
- Abre o parênteses:
- Isole
:
- Como
, pegamos a raiz positiva:
Pronto! Esse
em função de
é a inversa.