6.2 Determine a maior raiz real de f(x)=2 x^{3}-11,7 x^{2}+17,7 x-5
(a) Graficamente.
(b) Pelo método da iteração de ponto fixo (três iterações, x_{0}=3 ). Observação: certifique-se de desenvolver uma solução que convirja para a raiz.
(c) Pelo método de Newton-Raphson (três iterações, x_{0}=3 ).
(d) Pelo método da secante (três iterações, x_{-1}=3, x_{0}=4 ).
(e) Pelo método da secante modificado (três iterações, x_{0}=3, \delta=0,01 ).
Calcule os erros relativos percentuais aproximados para suas soluções.

Passo 1

O enunciado pede a maior raiz real da função
f(x)=2x^{3}-11,7x^{2}+17,7x-5
usando cinco abordagens:
(a) análise gráfica,
(b) iteração de ponto fixo com x_{0}=3,
(c) Newton–Raphson com x_{0}=3,
(d) secante com x_{-1}=3, x_{0}=4,
(e) secante modificada com x_{0}=3 e \delta=0,01.
Em cada caso calcularemos três iterações e o erro relativo percentual com base na raiz “verdadeira” aproximada em 3,587.

Passo 2

Pelo gráfico (ou avaliando f(3,5)\approx-1,08 e f(3,6)\approx+0,40 e interpolando), a mudança de sinal em x\approx3,58 leva a
x\approx3,587.

Passo 3

Definimos a iteração de ponto fixo a partir de
2x^{3}=11,7x^{2}-17,7x+5 \quad\Longrightarrow\quad g(x)=\frac{11,7x^{2}-17,7x+5}{2x^{2}}.
Verifica-se que \lvert g'(x)\rvert<1 perto de 3,587, garantindo convergência. Com x_{0}=3:
x_{1}=g(3)=\frac{11,7\cdot9-17,7\cdot3+5}{2\cdot9}\approx3,178,
x_{2}=g(3,178)\approx3,315,
x_{3}=g(3,315)\approx3,414.
O erro relativo percentual em x_{3} é
\frac{\lvert3,587-3,414\rvert}{3,587}\times100\%\approx4{,}8\%.

Passo 4

No método de Newton–Raphson usamos
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}, \quad f'(x)=6x^{2}-23,4x+17,7.
Com x_{0}=3:
x_{1}=3-\frac{f(3)}{f'(3)}=3-\frac{-3,2}{1,5}\approx5,133,
x_{2}=5,133-\frac{f(5,133)}{f'(5,133)}\approx4,279,
x_{3}=4,279-\frac{f(4,279)}{f'(4,279)}\approx3,790.
O erro relativo percentual em x_{3} é
\frac{\lvert3,587-3,790\rvert}{3,587}\times100\%\approx5{,}7\%.

Passo 5

No método da secante aplicamos
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})},
com x_{-1}=3, x_{0}=4:
x_{1}\approx3,327,\quad x_{2}\approx3,484,\quad x_{3}\approx3,578.
O erro relativo percentual em x_{3} é
\frac{\lvert3,587-3,578\rvert}{3,587}\times100\%\approx0{,}3\%.

Passo 6

No método da secante modificada usa-se
x_{n+1} = x_{n} - \frac{\delta\,x_{n}\,f(x_{n})} {f(x_{n}+\delta\,x_{n})-f(x_{n})},
com \delta=0,01 e x_{0}=3:
x_{1}\approx3,762,\quad x_{2}\approx3,615,\quad x_{3}\approx3,564.
O erro relativo percentual em x_{3} é
\frac{\lvert3,587-3,564\rvert}{3,587}\times100\%\approx0{,}6\%.

Resposta

(a) x\approx3,587 (gráfico)
(b) ponto fixo: x_{3}\approx3,414 (erro \approx4,8\%)
(c) Newton–Raphson: x_{3}\approx3,790 (erro \approx5,7\%)
(d) secante: x_{3}\approx3,578 (erro \approx0,3\%)
(e) secante modificada: x_{3}\approx3,564 (erro \approx0,6\%)

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