Use o método de NewtonRaphson para determinar a raiz de f(x)=-x^{2}+1,8 x+2,5 usando x_{0}=5. Faça os cálculos até que \varepsilon_{a} seja menor do que \varepsilon_{s}=0,05 \%. Faça também uma verificação do erro na sua resposta final.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Newton–Raphson à função
f(x) = -x^{2} + 1{,}8\,x + 2{,}5
com chute inicial x_{0}=5, iterando até que o erro aproximado
\varepsilon_{a} = \biggl|\frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n+1}}\biggr|\times100\%
fique abaixo de \varepsilon_{s}=0{,}05\%. Além disso, devemos comparar nossa solução com o valor exato para estimar o erro real.

Passo 2

O método de Newton–Raphson usa a derivada
f'(x) = -2x + 1{,}8
e a fórmula de iteração
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\,.

Passo 3

Vamos iterar até \varepsilon_{a}<0{,}05\%:
Para n=0:
f(5) = -25 + 9 + 2{,}5 = -13{,}5,\qquad f'(5) = -10 + 1{,}8 = -8{,}2,
x_{1} = 5 - \frac{-13{,}5}{-8{,}2} = 3{,}35366,\qquad \varepsilon_{a1} = \frac{|3{,}35366-5|}{3{,}35366}\times100\%\approx49{,}10\%.
Para n=1:
f(3{,}35366)\approx -2{,}7134,\quad f'(3{,}35366)\approx -4{,}9073, \quad x_{2} = 2{,}80066,\quad \varepsilon_{a2}\approx19{,}75\%.
Para n=2:
f(2{,}80066)\approx -0{,}2998,\quad f'(2{,}80066)\approx -3{,}8013, \quad x_{3} = 2{,}72182,\quad \varepsilon_{a3}\approx2{,}90\%.
Para n=3:
f(2{,}72182)\approx -0{,}0163,\quad f'(2{,}72182)\approx -3{,}6436, \quad x_{4} = 2{,}71735,\quad \varepsilon_{a4}\approx0{,}1645\%.
Para n=4:
f(2{,}71735)\approx 0{,}00624,\quad f'(2{,}71735)\approx -3{,}6347, \quad x_{5} = 2{,}71907,\quad \varepsilon_{a5}\approx0{,}0631\%.
Para n=5:
f(2{,}71907)\approx -0{,}00121,\quad f'(2{,}71907)\approx -3{,}6381, \quad x_{6} = 2{,}71874,\quad \varepsilon_{a6}\approx0{,}0122\%<0{,}05\%.
Portanto, paramos em x_{6}=2{,}71874.

Passo 4

Para verificar o erro real, achamos a raiz exata da equação
-x^{2}+1{,}8x+2{,}5=0
pelas fórmulas de Bhaskara:
x = \frac{1{,}8\pm\sqrt{1{,}8^{2}+4\cdot2{,}5}}{2} =\frac{1{,}8\pm\sqrt{13{,}24}}{2},
a raiz positiva é x_{\mathrm{exato}}\approx2{,}71949.
O erro absoluto é
|2{,}71949 - 2{,}71874|\approx0{,}00075
e o erro relativo
\frac{0{,}00075}{2{,}71949}\times100\%\approx0{,}0276\%.

Resposta

A raiz aproximada obtida é x\approx2{,}71874, com \varepsilon_{a}\approx0{,}0122\%<0{,}05\%.
Comparando com o valor exato 2{,}71949, o erro absoluto é aproximadamente 7{,}5\times10^{-4} e o erro relativo cerca de 0{,}0276\%.

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