Use a iteração de ponto fixo para determinar a raiz de f(x)=-x^{2}+1,8 x+2,5 usando x_{0}=5. Faça os cálculos até que \varepsilon_{a} seja menor do que \varepsilon_{s}=0,05 \%. Faça também uma verificação do erro na sua resposta final.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a raiz da função
f(x) = -x^{2} + 1,8\,x + 2,5
usando iteração de ponto fixo a partir de x_{0}=5, até que o erro aproximado \varepsilon_{a} fique abaixo de \varepsilon_{s}=0,05\%. O conteúdo é método de ponto fixo; vamos precisar reescrever f(x)=0 na forma x = g(x) e iterar.

Passo 2

Para aplicar ponto fixo, isolamos x em
-x^{2} + 1,8\,x + 2,5 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{2} = 1,8\,x + 2,5 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt{\,1,8\,x + 2,5\,}\,.
Logo escolhemos
g(x) = \sqrt{\,1,8\,x + 2,5\,}\,.
Para garantir convergência, verificamos
g'(x) = \frac{1,8}{2\,\sqrt{1,8\,x + 2,5}}
em torno da raiz (aprox.\ 2,72) dá \bigl|g'(2,72)\bigr|\approx0,33<1, de modo que a iteração converge.

Passo 3

Agora iteramos
x_{k+1} = \sqrt{\,1,8\,x_{k} + 2,5\,}
e calculamos
\varepsilon_{a,k} = \left|\frac{x_{k+1}-x_{k}}{x_{k+1}}\right|\times100\%.
Começando em x_{0}=5, temos:
\begin{aligned} x_{1}&=\sqrt{1,8\cdot5+2,5}=\sqrt{11,5}\approx3,3912, &\varepsilon_{a,1}\approx47,45\%,\\\ x_{2}&=\sqrt{1,8\cdot3,3912+2,5}\approx2,9322, &\varepsilon_{a,2}\approx15,65\%,\\\ x_{3}&=\sqrt{1,8\cdot2,9322+2,5}\approx2,7885, &\varepsilon_{a,3}\approx5,16\%,\\\ x_{4}&=\sqrt{1,8\cdot2,7885+2,5}\approx2,7420, &\varepsilon_{a,4}\approx1,70\%,\\\ x_{5}&=\sqrt{1,8\cdot2,7420+2,5}\approx2,7269, &\varepsilon_{a,5}\approx0,55\%,\\\ x_{6}&=\sqrt{1,8\cdot2,7269+2,5}\approx2,7230, &\varepsilon_{a,6}\approx0,14\%,\\\ x_{7}&=\sqrt{1,8\cdot2,7230+2,5}\approx2,7216, &\varepsilon_{a,7}\approx0,051\%,\\\ x_{8}&=\sqrt{1,8\cdot2,7216+2,5}\approx2,7212, &\varepsilon_{a,8}\approx0,015\%. \end{aligned}
No passo k=8 já temos \varepsilon_{a,8}<0,05\%, portanto paramos em
x_{8}\approx2,7212.

Passo 4

Para verificar o erro na resposta final, avaliamos o resíduo
f(2,7212) = -\bigl(2,7212\bigr)^{2} + 1,8\,(2,7212) + 2,5 \approx -7,4090 + 4,8982 + 2,5 \approx -0,0108,
que está bem próximo de zero, confirmando que x_{8} é boa aproximação da raiz.

Resposta

A raiz aproximada obtida por iteração de ponto fixo é
x \approx 2,7212.

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