Determine a maior raiz real de f(x)=2 x^{3}-11,7 x^{2}+17,7 x-5
(a) Graficamente.
(b) Pelo método da iteração de ponto fixo (três iterações, x_{0}=3 ). Observação: certifique-se de desenvolver uma solução que convirja para a raiz.
(c) Pelo método de Newton-Raphson (três iterações, x_{0}=3 ).
(d) Pelo método da secante (três iterações, x_{-1}=3, x_{0}=4 ).
(e) Pelo método da secante modificado (três iterações, x_{0}=3, \delta=0,01 ).
Calcule os erros relativos percentuais aproximados para suas soluções.

Passo 1

O enunciado pede a maior raiz real da função
f(x)=2x^{3}-11,7x^{2}+17,7x-5
pelos seguintes procedimentos:
– (a) análise gráfica (busca de trocas de sinal).
– (b) iteração de ponto-fixo com três iterações e x_{0}=3.
– (c) Newton-Raphson com três iterações e x_{0}=3.
– (d) método da secante com três iterações e x_{-1}=3,\;x_{0}=4.
– (e) secante modificada com três iterações, x_{0}=3 e \delta=0,01.
Em cada caso calcularemos o erro relativo percentual aproximado
\varepsilon_{\%}=\biggl|\frac{x_{3}-x_{\rm exato}}{x_{\rm exato}}\biggr|\times100\%.
Aqui tomamos como valor de referência da maior raiz real
x_{\rm exato}\approx3,57.

Passo 2

Para achar graficamente a maior raiz, montamos valores de f(x) e procuramos mudança de sinal: \,f(3)<0 e f(4)>0. Fazendo algumas avaliações entre 3,5 e 3,6, obtemos
f(3,56)\approx-0,29,\quad f(3,57)\approx+0,00,
logo a maior raiz real é
x\approx3,57.

Passo 3

Para o ponto-fixo, isolamos x em
2x^{3}=11,7x^{2}-17,7x+5 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{11,7x^{2}-17,7x+5}{2x^{2}}=:g(x).
Com x_{0}=3:
x_{1}=g(3)=\frac{11,7\cdot9-17,7\cdot3+5}{2\cdot9}=3,178,
x_{2}=g(3,178)=3,314, \qquad x_{3}=g(3,314)=3,395.
Erro relativo
\varepsilon_{\%} =\biggl|\frac{3,395-3,57}{3,57}\biggr|\times100\%\approx4,9\%.

Passo 4

Newton-Raphson usa
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}, \quad f'(x)=6x^{2}-23,4x+17,7.
Com x_{0}=3:
x_{1}=3-\frac{f(3)}{f'(3)}=3-\frac{-3,20}{1,50}=5,133,
x_{2}=5,133-\frac{f(5,133)}{f'(5,133)}=4,274,
x_{3}=4,274-\frac{f(4,274)}{f'(4,274)}=3,798.
Erro relativo
\varepsilon_{\%} =\biggl|\frac{3,798-3,57}{3,57}\biggr|\times100\%\approx6,4\%.

Passo 5

Secante com x_{-1}=3,\;x_{0}=4:
x_{1} =4-\frac{f(4)\,(4-3)}{f(4)-f(3)}=3,327,
x_{2} =3,327-\frac{f(3,327)\,(3,327-4)}{f(3,327)-f(4)}=3,486,
x_{3} =3,486-\frac{f(3,486)\,(3,486-3,327)}{f(3,486)-f(3,327)}=3,562.
Erro relativo
\varepsilon_{\%} =\biggl|\frac{3,562-3,57}{3,57}\biggr|\times100\%\approx0,2\%.

Passo 6

Secante modificada com x_{0}=3,\;\delta=0,01:
x_{n+1} = x_{n} - f(x_{n})\;\frac{\delta\,x_{n}}{f(x_{n}+\delta\,x_{n})-f(x_{n})}.
Para n=0:
x_{1} =3 - f(3)\,\frac{0,03}{f(3,03)-f(3)}=5,909,
x_{2} =5,909 - f(5,909)\,\frac{0,05909}{f(5,968)-f(5,909)}=4,681,
x_{3} =4,681 - f(4,681)\,\frac{0,04681}{f(4,728)-f(4,681)}=4,061.
Erro relativo
\varepsilon_{\%} =\biggl|\frac{4,061-3,57}{3,57}\biggr|\times100\%\approx13,8\%.

Resposta

(a) Pela análise gráfica, a maior raiz é x\approx3,57.
(b) Ponto-fixo: x_{3}=3,395, erro \approx4,9\%.
(c) Newton-Raphson: x_{3}=3,798, erro \approx6,4\%.
(d) Secante: x_{3}=3,562, erro \approx0,2\%.
(e) Secante modificada: x_{3}=4,061, erro \approx13,8\%.

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