Use (a) a iteração de ponto fixo e (b) o método de NewtonRaphson para determinar a raiz de f(x)=-x^{2}+1,8 x+2,5 usando x_{0}=5. Faça os cálculos até que \varepsilon_{a} seja menor do que \varepsilon_{s}=0,05 \%. Faça também uma verificação do erro na sua resposta final.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x) = -x^{2} + 1,8\,x + 2,5
usando duas técnicas numéricas — (a) iteração de ponto-fixo e (b) método de Newton–Raphson — a partir de x_{0}=5, até que o erro aproximado percentual
\varepsilon_{a} = \biggl|\frac{x_{n}-x_{n-1}}{x_{n}}\biggr|\times 100\%
seja menor que \varepsilon_{s}=0{,}05\%. No final, vamos verificar o resíduo f(x) na nossa solução.

Passo 2

Para o método de ponto-fixo, reescrevemos f(x)=0 como
x = g(x) = \sqrt{1,8\,x + 2,5},
escolha que converge se |g'(x)|<1 na vizinhança da raiz. Calculamos
g'(x)=\frac{1,8}{2\sqrt{1,8\,x+2,5}}.
Aproximamos iterativamente:
x_{0}=5
x_{1}=g(x_{0})=\sqrt{1,8\cdot5+2,5}=\sqrt{11,5}=3,39116,\quad \varepsilon_{a1}=47{,}39\%
x_{2}=g(x_{1})=\sqrt{1,8\cdot3,39116+2,5}=2,93277,\quad \varepsilon_{a2}=15{,}64\%
x_{3}=g(x_{2})=2,78980,\quad \varepsilon_{a3}=5{,}57\%
x_{4}=g(x_{3})=2,74258,\quad \varepsilon_{a4}=1{,}72\%
x_{5}=g(x_{4})=2,72706,\quad \varepsilon_{a5}=0{,}56\%
x_{6}=g(x_{5})=2,72236,\quad \varepsilon_{a6}=0{,}17\%
x_{7}=g(x_{6})=2,71969,\quad \varepsilon_{a7}=0{,}10\%
x_{8}=g(x_{7})=2,71853,\quad \varepsilon_{a8}=0{,}042\% < 0{,}05\%
Logo, a iteração de ponto-fixo fornece a raiz aproximada x\approx2,71853 em 8 iterações.

Passo 3

No método de Newton–Raphson usamos
f'(x) = -2\,x + 1,8,
e a fórmula
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Começando em x_{0}=5:
f(5)=-25+9+2,5=-13,5,\quad f'(5)=-10+1,8=-8,2
x_{1}=5 - \frac{-13,5}{-8,2}=3,35366,\quad \varepsilon_{a1}=49{,}08\%
f(3,35366)=-2,71241,\quad f'(3,35366)=-4,90732
x_{2}=3,35366 - \frac{-2,71241}{-4,90732}=2,80094,\quad \varepsilon_{a2}=19{,}71\%
f(2,80094)=-0,30357,\quad f'(2,80094)=-3,80188
x_{3}=2,80094 - \frac{-0,30357}{-3,80188}=2,72109,\quad \varepsilon_{a3}=2{,}91\%
f(2,72109)=-0,01153,\quad f'(2,72109)=-3,64218
x_{4}=2,72109 - \frac{-0,01153}{-3,64218}=2,71793,\quad \varepsilon_{a4}=0{,}0435\% < 0{,}05\%
Portanto, Newton–Raphson atinge a tolerância em 4 iterações, com raiz x\approx2,71793.

Passo 4

Verificação do erro (resíduo): calculamos
f(2,71853)\approx -2,71853^{2}+1,8\cdot2,71853+2,5\approx 0,00337,
f(2,71793)\approx -2,71793^{2}+1,8\cdot2,71793+2,5\approx 0,00336.
Esse valor próximo de zero confirma que as soluções estão corretas.

Resposta

(a) Pelo método de ponto-fixo obtemos
x \approx 2,71853
após 8 iterações.
(b) Pelo método de Newton–Raphson obtemos
x \approx 2,71793
após 4 iterações.
Verificação: em ambos os casos f(x)\approx0{,}0034, próximo de zero, validando a raiz.

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