Determine as raízes reais de f(x)=-1+5,5 x-4 x^{2}+0,5 x^{3} : (a) graficamente e (b) usando o método de Newton-Raphson até \varepsilon_{s}=0,01 \%.

Passo 1

O enunciado pede as raízes reais da função
f(x)= -1 + 5{,}5\,x -4x^2 +0{,}5x^3
por dois métodos:
  1. (a) graficamente, ou seja, identificando onde f(x) muda de sinal e estimando as raízes.
  2. (b) pelo método de Newton–Raphson, até que o erro relativo aproximado \varepsilon_s\le0{,}01\%.
Para resolver, vamos primeiro estudar o sinal de f(x) e localizar intervalos com mudança de sinal; depois definimos
f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(0{,}5x^3 -4x^2 +5{,}5x -1\bigr) =1{,}5x^2 -8x +5{,}5
e aplicamos a fórmula de Newton–Raphson
x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
checando em cada passo
\varepsilon_s\approx\left|\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}\right|\times100\%.

Passo 2

Montamos uma pequena tabela de sinais para f(x):
\begin{array}{c|cccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 6 & 7 \\\ \hline f(x) & -1 & +2 & -4 & -14 & -8 & +26 \end{array}
Vemos mudança de sinal em [0,1], em [1,2] e em [6,7]. Graficamente, isso indica três raízes reais, cujas aproximações iniciais são
x\approx0{,}2,\quad x\approx1{,}5,\quad x\approx6{,}3.

Passo 3

Para refinar cada raiz com Newton–Raphson:
funcionam as fórmulas
f(x)=0{,}5x^3 -4x^2 +5{,}5x -1,\qquad f'(x)=1{,}5x^2 -8x +5{,}5,
x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\qquad \varepsilon_s\approx\biggl|\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}\biggr|\times100\%.

Passo 4

Raiz em [0,1], com x_0=0{,}2:
\begin{array}{c|ccccc} n & x_n & f(x_n) & f'(x_n) & x_{n+1} & \varepsilon_s (\%) \\\ \hline 0 & 0{,}20000 & -0{,}05600 & 3{,}9600 & 0{,}21414 & 6{,}60 \\\\ 1 & 0{,}21414 & -0{,}00093 & 3{,}8558 & 0{,}21438 & 0{,}11 \\\\ 2 & 0{,}21438 & 0{,}00018 & 3{,}8540 & 0{,}21433 & 0{,}022 \\\\ 3 & 0{,}21433 & 0{,}00002 & 3{,}8538 & 0{,}21433 & 0{,}0024 \end{array}
Na iteração n=3 já temos \varepsilon_s<0{,}01\%, logo
x^{(\,1)}\approx0{,}21433.

Passo 5

Raiz em [1,2], com x_0=1{,}5:
\begin{array}{c|ccccc} n & x_n & f(x_n) & f'(x_n) & x_{n+1} & \varepsilon_s (\%) \\\ \hline 0 & 1{,}50000 & -0{,}06250 & -3{,}1250 & 1{,}48000 & 1{,}35 \\\\ 1 & 1{,}48000 & -0{,}00260 & -3{,}0544 & 1{,}47915 & 0{,}057 \\\\ 2 & 1{,}47915 & -0{,}00000 & -3{,}0539 & 1{,}47915 & 0{,}00007 \end{array}
Após n=2 obtemos \varepsilon_s<0{,}01\%, logo
x^{(\,2)}\approx1{,}47915.

Passo 6

Raiz em [6,7], com x_0=6{,}3:
\begin{array}{c|ccccc} n & x_n & f(x_n) & f'(x_n) & x_{n+1} & \varepsilon_s (\%) \\\ \hline 0 & 6{,}30000 & -0{,}08650 & 14{,}6350 & 6{,}30591 & 0{,}0938 \\\\ 1 & 6{,}30591 & -0{,}02390 & 14{,}7459 & 6{,}30753 & 0{,}0257 \\\\ 2 & 6{,}30753 & 0{,}00550 & 14{,}7535 & 6{,}30716 & 0{,}0059 \end{array}
Em n=2 já temos \varepsilon_s<0{,}01\%, logo
x^{(\,3)}\approx6{,}30716.

Resposta

(a) Graficamente, as raízes estão aproximadas em
x\approx0{,}2,\quad x\approx1{,}5,\quad x\approx6{,}3.
(b) Pelo método de Newton–Raphson, as raízes com \varepsilon_s\le0{,}01\% são
x\approx0{,}21433,\quad x\approx1{,}47915,\quad x\approx6{,}30716.

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