Determine as raízes reais de
: (a) graficamente e (b) usando o método de Newton-Raphson até
.
Passo 1
O enunciado pede as raízes reais da função
por dois métodos:
- (a) graficamente, ou seja, identificando onde
muda de sinal e estimando as raízes. - (b) pelo método de Newton–Raphson, até que o erro relativo aproximado
.
Para resolver, vamos primeiro estudar o sinal de
e localizar intervalos com mudança de sinal; depois definimos
e aplicamos a fórmula de Newton–Raphson
checando em cada passo
Passo 2
Montamos uma pequena tabela de sinais para
:
Vemos mudança de sinal em
, em
e em
. Graficamente, isso indica três raízes reais, cujas aproximações iniciais são
Passo 3
Para refinar cada raiz com Newton–Raphson:
funcionam as fórmulas
funcionam as fórmulas
Passo 4
Raiz em
, com
:
Na iteração
já temos
, logo
Passo 5
Raiz em
, com
:
Após
obtemos
, logo
Passo 6
Raiz em
, com
:
Em
já temos
, logo
Resposta
(a) Graficamente, as raízes estão aproximadas em
(b) Pelo método de Newton–Raphson, as raízes com
são