6.4 Determine as raízes reais de f(x)=-1+5,5 x-4 x^{2}+0,5 x^{3} : (a) graficamente e (b) usando o método de Newton-Raphson até \varepsilon_{s}=0,01 \%.

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes reais da função
f(x) = -1 + 5,5\,x - 4\,x^{2} + 0,5\,x^{3}
fazendo (a) uma estimativa gráfica e (b) refinando cada raiz pelo método de Newton–Raphson até que o erro relativo aproximado seja menor que \varepsilon_{s}=0,01\%. Vamos, portanto, usar análise de sinal para localizar intervalos contendo raízes e depois aplicar a iteração
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
com critério
\varepsilon_{a} = \left|\frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n+1}}\right|\times 100\% < 0,01\%.

Passo 2

Para a estimação gráfica, calculamos alguns valores de f(x) e observamos as trocas de sinal: f(0)=-1, f(1)=1 ⇒ há raiz em (0,1). f(1)=1, f(2)=-2 ⇒ há raiz em (1,2). f(4)=-11, f(7)=13 ⇒ há raiz em (4,7).
A partir desses intervalos, estimamos como pontos iniciais aproximados:
x_{0}^{(1)}\approx0,2,\quad x_{0}^{(2)}\approx1,5,\quad x_{0}^{(3)}\approx6,3.

Passo 3

Precisamos da derivada
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-1 +5,5\,x -4\,x^{2} +0,5\,x^{3}\bigr) =5,5 -8\,x +1,5\,x^{2}
e da fórmula de Newton–Raphson:
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}, \quad \varepsilon_{a} = \left|\frac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n+1}}\right|\times100\%.

Passo 4

Raiz em (0,1), x_{0}=0,2:
Iteração 1:
f(0,2)\approx-0,056,\quad f'(0,2)\approx3,96
x_{1}=0,2 - \frac{-0,056}{3,96}\approx0,21414,\quad \varepsilon_{a}\approx6,60\%
Iteração 2:
f(0,21414)\approx-0,0009,\quad f'(0,21414)\approx3,856
x_{2}=0,21414 - \frac{-0,0009}{3,856}\approx0,21437,\quad \varepsilon_{a}\approx0,1085\%
Iteração 3:
f(0,21437)\approx0,00011,\quad f'(0,21437)\approx3,8558
x_{3}=0,21437 - \frac{0,00011}{3,8558}\approx0,214344,\quad \varepsilon_{a}\approx0,0133\%
Iteração 4: obtém-se
x_{4}\approx0,214345,\quad \varepsilon_{a}\approx0,0006\%<0,01\%.
Logo, uma raiz é
x^{(1)}\approx0,214345.

Passo 5

Raiz em (1,2), x_{0}=1,5:
Iteração 1:
f(1,5)\approx-0,0625,\quad f'(1,5)\approx-3,125
x_{1}=1,5 - \frac{-0,0625}{-3,125}\approx1,48000,\quad \varepsilon_{a}\approx1,35\%
Iteração 2:
f(1,48)\approx-0,0006,\quad f'(1,48)\approx-3,054
x_{2}=1,48 - \frac{-0,0006}{-3,054}\approx1,47980,\quad \varepsilon_{a}\approx0,0133\%
Iteração 3:
x_{3}\approx1,479807,\quad \varepsilon_{a}\approx0,0002\%<0,01\%.
Portanto,
x^{(2)}\approx1,479807.

Passo 6

Raiz em (4,7), x_{0}=6,3:
Iteração 1:
f(6,3)\approx-0,0865,\quad f'(6,3)\approx14,635
x_{1}=6,3 - \frac{-0,0865}{14,635}\approx6,30591,\quad \varepsilon_{a}\approx0,094\%
Iteração 2:
f(6,30591)\approx-0,0039,\quad f'(6,30591)\approx14,70
x_{2}=6,30591 - \frac{-0,0039}{14,70}\approx6,30618,\quad \varepsilon_{a}\approx0,0042\%
Iteração 3:
x_{3}\approx6,30619,\quad \varepsilon_{a}\approx0,00007\%<0,01\%.
Assim,
x^{(3)}\approx6,30619.

Resposta

As três raízes reais são aproximadamente:
x_{1}\approx0,214345,\quad x_{2}\approx1,479807,\quad x_{3}\approx6,30619.

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