Determine o menor número de subintervalos em que podemos dividir o intervalo [0, 1] para obter I usando a Regra dos Trapézios com erro menor ou igual a 0.001. Para esta divisão calcular .

Passo 1

O enunciado pede para aproximar integral0^15.5e^-8x,dx usando a Regra dos Trapézios com erro ≤0.001. Esse problema cai em Cálculo Numérico, mais especificamente no uso da estimativa de erro da Regra dos Trapézios e depois na aplicação da Regra composta para obter a aproximação I.

Passo 2

Precisamos da segunda derivada de f(x)=5.5e^-8x para usar o limite de erro. Calculando:
f'(x)=5.5(-8)e^-8x=-44e^-8x,
f''(x)=-44(-8)e^-8x=352e^-8x

Passo 3

Como e^-8x decresce em [0,1], o máximo de |f''(x)| é em x=0, logo
,M=lVert f''rVertinfty=352

Passo 4

O erro da Regra dos Trapézios composta em [a,b] com n subintervalos é limitado por
ET<=(b-a)^312n^2,M

Passo 5

Aqui a=0, b=1 e M=352, então
ET<=1^312n^2times352=35212n^2=883n^2

Passo 6

Queremos ET<=0.001, daí
883n^2<=0.001 iff n^2>=880.003=29333.33iff n>=raiz29333.33approx171.27

Passo 7

Logo, o menor n inteiro que satisfaz é n=172.

Passo 8

Agora aplicamos a Regra dos Trapézios composta com n=172. O passo é h=1/172 e os nós são xi=i/172. Usando a soma geométrica para acelerar, obtém-se

Resposta

Número de subintervalos: 172; aproximação de I: 0.687500

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