Um número real é chamado algébrico se for raiz de um polinômio com coeficientes inteiros.
Mostre que \sqrt{2}+1 é algébrico.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \sqrt{2}+1 é algébrico, ou seja, que existe um polinômio não-nulo com coeficientes inteiros que tenha \sqrt{2}+1 como raiz.

Passo 2

Seja
x = \sqrt{2} + 1.
Então
\sqrt{2} = x - 1.
Elevando ao quadrado, obtemos
(x-1)^2 = 2.
Expandindo e reorganizando em zero, temos
x^2 - 2x + 1 - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x - 1 = 0.

Passo 3

O polinômio
f(x) = x^2 - 2x - 1
possui coeficientes inteiros e satisfaz f(\sqrt{2}+1)=0. Logo, \sqrt{2}+1 é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, ou seja, é algébrico.

Resposta

O polinômio que mostra que \sqrt{2}+1 é algébrico é
x^2 - 2x - 1 = 0.

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