Um número real é chamado algébrico se for raiz de um polinômio com coeficientes inteiros.
Mostre que
é algébrico.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é algébrico, ou seja, que existe um polinômio não-nulo com coeficientes inteiros que tenha
como raiz.
Passo 2
Seja
Então
Elevando ao quadrado, obtemos
Expandindo e reorganizando em zero, temos
Passo 3
O polinômio
possui coeficientes inteiros e satisfaz
. Logo,
é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros, ou seja, é algébrico.
Resposta
O polinômio que mostra que
é algébrico é