Sabendo que a equação x^3+3 x^2-1=0 possui uma raiz em [0,1], determine o valor aproximado da raiz utilizando o polinômio interpolador da questão anterior.

Passo 1

Beleza! A gente tem a equação
f(x)=x^3+3x^2-1=0
e sabe que existe uma raiz em . O que a questão pede é aproximar essa raiz usando o polinômio interpolador (grau 2) que construímos antes. Para isso, vamos:
1) Escolher três pontos em ,
2) Montar o polinômio de Lagrange que passe por ,
3) Resolver .
Você vai ver que não precisa ter decorado tudo, mas vamos explicando cada parte!

Passo 2

Primeiro, escolhemos os nós (por exemplo)
x0=0, x1=0.5, x2=1
Calculamos f(0)=0^3+3cdot0^2-1=-1, nesses pontos:
f(0.5)=0.5^3+3cdot0.5^2-1=0.125+0.75-1=-0.125,
f(1)=1^3+3cdot1^2-1=1+3-1=3
L0(x)=(x-0.5)(x-1)(0-0.5)(0-1), L1(x)=(x-0)(x-1)(0.5-0)(0.5-1), L2(x)=(x-0)(x-0.5)(1-0)(1-0.5)
Agora vamos usar a fórmula de Lagrange. A base do polinômio é:

Passo 3

Vamos simplificar cada L0(x)=(x-0.5)(x-1)(-0.5)(-1) =;2,(x-0.5)(x-1) :
L1(x)=x(x-1)(0.5)(-0.5) =;-4,x(x-1) :
L2(x)=x(x-0.5)1cdot0.5 =;2,x(x-0.5)
P2(x) =f(0),L0(x)+f(0.5),L1(x)+f(1),L2(x) :
P2(x) =-1cdot 2(x-0.5)(x-1) ;+;(-0.125)cdotl(-4x(x-1)r) ;+;3cdot 2x(x-0.5)
P2(x)=4.5,x^2-0.5,x-1 :
O polinômio interpolador é
Substituindo os valores:
Que dá, ao arrumar:

Passo 4

Agora a gente quer 4.5,x^2-0.5,x-1=0 . É uma equação quadrática:
x=0.5pmraiz(-0.5)^2-4cdot4.5cdot(-1)2cdot4.5 =0.5pmraiz0.25+189 =0.5pmraiz18.259
Usando a fórmula de Bhaskara,
x1approx0.5+4.2729approx0.53, x2approx0.5-4.2729approx-0.42
Calculando as duas raízes,
Como a gente quer a raiz em , fica .

Resposta

A aproximação da raiz em boxed0.53 pelo polinômio interpolador é

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