Questão 4: Suponha que sejam fornecidos valores tabelados \left(x_{k}, f\left(x_{k}\right)\right) para uma dada função e busca-se ajustar uma curva \varphi(x) a esses dados utilizando o método dos mínimos quadrados para o ajuste de curva. Qual é a estratégia de linearização deve ser adotada se \varphi(x) tem a forma dada a seguir:
\varphi(x)=\alpha_{1} e^{\alpha_{2} x}

Passo 1

O enunciado dá uma família de curvas
\varphi(x)=\alpha_{1}e^{\alpha_{2}x}
e pede que ajustemos esta forma aos pontos (x_{k},f(x_{k})) pelo método dos mínimos quadrados. Como o modelo não é linear em \alpha_{1} e \alpha_{2}, vamos precisar buscar uma transformação que o torne linear.

Passo 2

Observe que, se definirmos y_{k}=f(x_{k}) e aplicarmos logaritmo natural em ambos os lados de
y_{k}=\alpha_{1}e^{\alpha_{2}x_{k}},
obtemos
\ln y_{k}=\ln\bigl(\alpha_{1}e^{\alpha_{2}x_{k}}\bigr) =\ln\alpha_{1}+\alpha_{2}x_{k}.

Passo 3

Defina
u_{k}=\ln y_{k},\quad \beta_{1}=\ln\alpha_{1},\quad \beta_{2}=\alpha_{2}.
Então o modelo transformado fica
u_{k}=\beta_{1}+\beta_{2}x_{k},
que é um modelo linear em \beta_{1} e \beta_{2}.

Passo 4

Aplique o método dos mínimos quadrados clássicos ao par de dados \bigl(x_{k},u_{k}\bigr). Ou seja, minimize em \beta_{1},\beta_{2} a soma
S(\beta_{1},\beta_{2}) =\sum_{k}\bigl(u_{k}-(\beta_{1}+\beta_{2}x_{k})\bigr)^{2}.
Isto fornece as estimativas \widehat\beta_{1} e \widehat\beta_{2}.

Passo 5

Recupere os parâmetros originais por
\widehat\alpha_{1}=e^{\widehat\beta_{1}}, \qquad \widehat\alpha_{2}=\widehat\beta_{2}.

Resposta

A estratégia de linearização consiste em tomar o logaritmo natural de y=f(x), ajustando em seguida o modelo linear
\ln y=\beta_{1}+\beta_{2}x
(com \beta_{1}=\ln\alpha_{1} e \beta_{2}=\alpha_{2}) e, ao final, converter de volta por \alpha_{1}=e^{\beta_{1}}, \alpha_{2}=\beta_{2}.

Exercícios relacionados