Usando o Método da Bissecção, determine uma raiz das funções a seguir com a precisão \varepsilon=10^{-3}
\quad f(x)=\ln x-\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, pelo Método da Bissecção, uma raiz de
f(x)=\ln x-\operatorname{sen} x
com precisão \varepsilon=10^{-3}. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário para escolher um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais opostos e depois aplicar iterações de bissecção até que o comprimento do intervalo seja menor que 2\varepsilon.

Passo 2

Procuramos um intervalo inicial em x>0:
f(1)=\ln1-\sen1=0-\sen1\approx-0,84<0,
f(2)=\ln2-\sen2\approx0,693-0,909\approx-0,216<0,
f(3)=\ln3-\sen3\approx1,099-0,141\approx0,958>0.
Logo, em [2,3] há mudança de sinal e contém uma raiz.

Passo 3

O Método da Bissecção calcula o ponto médio
c=\frac{a+b}{2},
avalia f\text{(c)} e substitui a ou b por c conforme o sinal de f\text{(c)}. Repetimos até que
b-a<2\varepsilon=2\times10^{-3}=0,002.

Passo 4

Aplicando sucessivas iterações:
\begin{array}{c|c|c|c} \text{Iteração}&[a,b]&c=(a+b)/2&f\text{(c)}\\hline 1&[2,3]&2,5000&\approx+0,318>0\quad\Rightarrow[b\leftarrow2{,}5]\\\\ 2&[2,2,5]&2,2500&\approx+0,033>0\quad\Rightarrow[b\leftarrow2{,}25]\\\\ 3&[2,2,25]&2,1250&\approx-0,095<0\quad\Rightarrow[a\leftarrow2{,}125]\\\\ 4&[2,125,2,25]&2,1875&\approx-0,033<0\quad\Rightarrow[a\leftarrow2{,}1875]\\\\ 5&[2,1875,2,25]&2,21875&\approx-0,002<0\quad\Rightarrow[a\leftarrow2{,}21875]\\\\ 6&[2,21875,2,25]&2,234375&\approx+0,014>0\quad\Rightarrow[b\leftarrow2{,}234375]\\\\ 7&[2,21875,2,234375]&2,2265625&\approx+0,007>0\quad\Rightarrow[b\leftarrow2{,}2265625]\\\\ 8&[2,21875,2,2265625]&2,22265625&\approx+0,004>0\quad\Rightarrow[b\leftarrow2{,}22265625]\\\\ 9&[2,21875,2,22265625]&2,220703125&\approx+0,001>0\quad\Rightarrow[b\leftarrow2{,}220703125]\\\\ 10&[2,21875,2,220703125]&2,2197265625&\approx+0,0005>0\quad\Rightarrow[b\leftarrow2{,}2197265625] \end{array}çã
Após a 10ª iteração temos
b-a=2{,}2197265625-2{,}21875=0{,}0009765625<0{,}002,
portanto a condição de parada está satisfeita. A raiz aproximada é o ponto médio do último intervalo:
x^*=\frac{2{,}21875+2{,}2197265625}{2}=2{,}21923828125.

Resposta

A raiz aproximada de \ln x-\operatorname{sen} x=0 pelo Método da Bissecção com \varepsilon=10^{-3} é
x\approx2{,}2192383\quad(\text{ou, arredondando a }10^{-3},\;2{,}219).

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