Encontre a raiz da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x} * \ln (\mathrm{x})-1 no intervalo [1,2], utilizando o método da Falsa Posição com precisão de 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede a raiz da função
f(x)=x\ln(x)-1
no intervalo [1,2] usando o método da falsa posição com tolerância \varepsilon=10^{-4}. Vamos precisar:
– verificar que f(1) e f(2) têm sinais opostos;
– aplicar iterativamente a fórmula da falsa posição até que a diferença entre duas estimativas sucessivas de x seja menor que \varepsilon.

Passo 2

Calculamos os valores iniciais:
f(1)=1\cdot\ln(1)-1=-1,\quad f(2)=2\cdot\ln(2)-1\approx0{,}38629.
Como f(1)\cdot f(2)<0, há raiz em [1,2].

Passo 3

A fórmula da falsa posição é
c = b - \frac{f(b)\,(b-a)}{f(b)-f(a)}.
Iteração 1, com a_0=1, b_0=2:
c_1 = 2 - \frac{0{,}38629\,(2-1)}{0{,}38629 - (-1)} \approx 1{,}72132,
f(c_1)\approx 1{,}72132\ln(1{,}72132)-1\approx -0{,}0649.
Como f(c_1)<0, atualizamos a_1=c_1, b_1=2.

Passo 4

Iteração 2, com a_1=1{,}72132, b_1=2:
c_2 = 2 - \frac{0{,}38629\,(2-1{,}72132)}{0{,}38629 - (-0{,}0649)} \approx 1{,}76159,
f(c_2)\approx 1{,}76159\ln(1{,}76159)-1\approx -0{,}00290.
Como f(c_2)<0, atualizamos a_2=c_2, b_2=2.

Passo 5

Iteração 3, com a_2=1{,}76159, b_2=2:
c_3 = 2 - \frac{0{,}38629\,(2-1{,}76159)}{0{,}38629 - (-0{,}00290)} \approx 1{,}76328,
f(c_3)\approx 1{,}76328\ln(1{,}76328)-1\approx 0{,}00034.
Agora f(c_3)>0, então atualizamos a_3=1{,}76159, b_3=c_3.

Passo 6

Iteração 4, com a_3=1{,}76159, b_3=1{,}76328:
c_4 = 1{,}76328 - \frac{0{,}00034\,(1{,}76328-1{,}76159)}{0{,}00034 - (-0{,}00290)} \approx 1{,}76310,
f(c_4)\approx 1{,}76310\ln(1{,}76310)-1\approx 0{,}000026.
Como f(c_4)>0, atualizamos b_4=c_4.

Passo 7

Iteração 5, com a_4=1{,}76159, b_4=1{,}76310:
c_5 = 1{,}76310 - \frac{0{,}000026\,(1{,}76310-1{,}76159)}{0{,}000026 - (-0{,}00290)} \approx 1{,}76309.
Calculamos \lvert c_5 - c_4\rvert \approx 1{,}33\times10^{-5}<10^{-4}, logo a convergência atende à precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada é
x \approx 1{,}7631.

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