Usando o método de Newton-Raphson, encontre a raiz de \mathrm{f}(\mathrm{x})=\tan (\mathrm{x})-\mathrm{x}, \operatorname{com} \mathrm{x}_{0}=4.5 \mathrm{e} precisão de 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Newton–Raphson para achar a raiz de
f(x)=\tan(x)-x
partindo de x_{0}=4,5 e até que a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor que \varepsilon=10^{-4}. Vamos precisar da derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\tan(x)-x\bigr)=\operatorname{sec}^2(x)-1=\tan^2(x)
e da fórmula de iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}\,.

Passo 2

Computamos x_{1}. Em x_{0}=4,5:
f(4,5)=\tan(4,5)-4,5\approx4,637332055-4,5=0,137332055,
f'(4,5)=\tan^2(4,5)\approx(4,637332055)^2=21,5030.
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x_{1}=4,5-\frac{0,137332055}{21,5030}\approx4,493621.

Passo 3

Agora x_{1}\approx4,493621. Calculando
f(4,493621)\approx0,00428,\quad f'(4,493621)\approx(\tan(4,493621))^2\approx20,19,
temos
x_{2}=4,493621-\frac{0,00428}{20,19}\approx4,493409.
A diferença \lvert x_{2}-x_{1}\rvert\approx0,000212 ainda é maior que 10^{-4}, então continuamos.

Passo 4

Em x_{2}\approx4,493409:
f(4,493409)\approx1{,}6\times10^{-7},\quad f'(4,493409)\approx20,19,
portanto
x_{3}=4,493409-\frac{1{,}6\times10^{-7}}{20,19}\approx4,493409.
Agora \lvert x_{3}-x_{2}\rvert\approx5\times10^{-9}<10^{-4}, logo atingimos a precisão desejada.

Resposta

A raiz aproximada é
x\approx4,4934.

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