Determine a raiz real de f(x)=-25+82 x-90 x^{2}+ 44 x^{3}-8 x^{4}+0,7 x^{5} :
Faça os mesmos cálculos que em (b) mas use o método da falsa posição e \varepsilon_{s}=0,2 \%.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real de
f(x) = -25 + 82x - 90x^{2} + 44x^{3} - 8x^{4} + 0{,}7x^{5}
usando o método da falsa posição com critério de parada de erro relativo aproximado
\varepsilon_{s}=0{,}2\%.

Passo 2

Para aplicar falsa posição precisamos de um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos.
Teste em a=0:
f(0) = -25 < 0
Teste em b=1:
f(1) = -25 + 82 - 90 + 44 - 8 + 0{,}7 = 3{,}7 > 0
Logo escolhemos [a_{0},b_{0}]=[0,1].

Passo 3

A fórmula da falsa posição é
x_{r} = b - f(b)\,\frac{a - b}{f(a)-f(b)}
e o erro relativo aproximado após i iterações é
\varepsilon_{a}^{(i)} = \left|\frac{x_{r}^{(i)} - x_{r}^{(i-1)}}{x_{r}^{(i)}}\right|\times 100\%.
Repetimos até \varepsilon_{a}<0{,}2\%.

Passo 4

Aplicando iterativamente, atualizando o intervalo para a extremidade cujo f tem sinal diferente de f(x_{r}), obtemos:
i) a=0, b=1
x_{1}=0{,}87108, f(x_{1})=2{,}957,
\varepsilon_{a}^{(1)}=14{,}80\%, novo intervalo [0,0{,}87108].
ii) a=0, b=0{,}87108
x_{2}=0{,}77892, f(x_{2})=2{,}2575,
\varepsilon_{a}^{(2)}=11{,}83\%, intervalo [0,0{,}77892].
iii) a=0, b=0{,}77892
x_{3}=0{,}71439, f(x_{3})=1{,}747,
\varepsilon_{a}^{(3)}=9{,}03\%, intervalo [0,0{,}71439].
iv) a=0, b=0{,}71439
x_{4}=0{,}66772, f(x_{4})=1{,}2183,
\varepsilon_{a}^{(4)}=6{,}99\%, intervalo [0,0{,}66772].
v) a=0, b=0{,}66772
x_{5}=0{,}63667, f(x_{5})=0{,}8432,
\varepsilon_{a}^{(5)}=4{,}88\%, intervalo [0,0{,}63667].
vi) a=0, b=0{,}63667
x_{6}=0{,}61590, f(x_{6})=0{,}1539,
\varepsilon_{a}^{(6)}=3{,}37\%, intervalo [0,0{,}61590].
vii) a=0, b=0{,}61590
x_{7}=0{,}61213, f(x_{7})=0{,}5000,
\varepsilon_{a}^{(7)}=0{,}62\%, intervalo [0,0{,}61213].
viii) a=0, b=0{,}61213
x_{8}=0{,}60012, f(x_{8})=0{,}7295,
\varepsilon_{a}^{(8)}=1{,}99\%, intervalo [0,0{,}60012].
ix) a=0, b=0{,}60012
x_{9}=0{,}58311, f(x_{9})=0{,}0769,
\varepsilon_{a}^{(9)}=2{,}92\%, intervalo [0,0{,}58311].
x) a=0, b=0{,}58311
x_{10}=0{,}58133, f(x_{10})=0{,}0414,
\varepsilon_{a}^{(10)}=0{,}31\%, intervalo [0,0{,}58133].
xi) a=0, b=0{,}58133
x_{11}=0{,}58037, f(x_{11})=0{,}0123,
\varepsilon_{a}^{(11)}=0{,}17\%<0{,}2\%.
Parou-se a iteração.

Resposta

A raiz real aproximada é
x \approx 0{,}58037.

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