5.2 Determine a raiz real de f(x)=5 x^{3}-5 x^{2}+6 x-2 :
(a) Graficamente.
(b) Usando o método da bissecção para localizar a raiz. Use as aproximações iniciais x_{l}=0 e x_{u}=1 e itere até que o erro estimado \varepsilon_{a} fique abaixo de um nível \varepsilon_{s}=10 \%.

Passo 1

O enunciado pede a raiz real da função
f(x)=5x^{3}-5x^{2}+6x-2
pela via (a) gráfica e (b) pelo método da bissecção, usando o intervalo inicial x_{l}=0 e x_{u}=1 e iterando até que o erro estimado \varepsilon_{a} fique abaixo de \varepsilon_{s}=10\%. Vamos usar conceitos de mudança de sinal para localizar a raiz e a fórmula da bissecção para refiná-la.

Passo 2

Para a solução gráfica, avaliamos alguns pontos:
f(0)=-2,\quad f(0,4)=5(0,4)^{3}-5(0,4)^{2}+6(0,4)-2=-0,08,\quad f(0,5)=0,375.
Há troca de sinal entre x=0,4 (negativo) e x=0,5 (positivo), logo a raiz real está nesse intervalo, aproximadamente em
x\approx0,42.

Passo 3

No método da bissecção confirmamos que
f(0)=-2<0,\quad f(1)=4>0,
portanto existe uma raiz em [0,1]. A cada iteração calculamos o ponto médio
x_{\mathrm{r}}=\frac{x_{l}+x_{u}}{2},
avaliamos f(x_{\mathrm{r}}), escolhemos o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal e calculamos o erro aproximado relativo
\varepsilon_{a}=\left|\frac{x_{\mathrm{r}}^{(k)}-x_{\mathrm{r}}^{(k-1)}}{x_{\mathrm{r}}^{(k)}}\right|\times100\%.
Iteramos até \varepsilon_{a}<10\%.

Passo 4

Iterações (vírgula decimal):
Iteração 1: x_{\mathrm{r}}^{(1)}=0,5, f(0,5)=0,375 \Rightarrow[0, 0,5]; sem \varepsilon_{a} definida.
Iteração 2: x_{\mathrm{r}}^{(2)}=0,25, f(0,25)=-0,734375 \Rightarrow[0,25, 0,5], \varepsilon_{a}^{(2)}=100\%.
Iteração 3: x_{\mathrm{r}}^{(3)}=0,375, f(0,375)=-0,189455 \Rightarrow[0,375, 0,5], \varepsilon_{a}^{(3)}=33,3\%.
Iteração 4: x_{\mathrm{r}}^{(4)}=0,4375, f(0,4375)=0,08669 \Rightarrow[0,375, 0,4375], \varepsilon_{a}^{(4)}=14,29\%.
Iteração 5: x_{\mathrm{r}}^{(5)}=0,40625, f(0,40625)\approx-0,055 \Rightarrow[0,40625, 0,4375], \varepsilon_{a}^{(5)}=7,69\%<10\%. Paramos.

Resposta

(a) Pela inspeção gráfica, a raiz real fica em x\approx0,42.
(b) Pelo método da bissecção, após 5 iterações a raiz aproximada é
x\approx0,40625
com \varepsilon_{a}\approx7,69\%<10\%.

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