5.4 (a) Determine as raízes de f(x)=-12-21 x+18 x^{2}- 2,75 x^{3} graficamente. Além disso, determine a primeira raiz da função pela (b) bissecção e (c) falsa posição. Para (b) e (c), use as aproximações iniciais x_{l}=-1 e x_{u}=0 e um critério de parada de 1 \%.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -12 -21\,x +18\,x^{2} -2,75\,x^{3}
e pede:
(a) aproximar as três raízes graficamente;
(b) usar bissecção em [x_{l},x_{u}]=[-1,0] para achar a primeira raiz com critério de parada de 1\%;
(c) fazer o mesmo com a falsa posição.
Vamos explorar mudança de sinal para (a) e depois aplicar os dois métodos numéricos para (b) e (c).

Passo 2

Para (a) montamos uma tabela de valores e buscamos onde f(x) muda de sinal:
f(-1)=29,75,\quad f(0)=-12,\quad f(2)=-4,\quad f(3)=12,75,\quad f(4)=16,\quad f(5)=-10,75.
Há mudança de sinal em
[-1,0] \,\Rightarrow raiz em x\approx -0,42,
[2,3] \,\Rightarrow raiz em x\approx 2,20,
[4,5] \,\Rightarrow raiz em x\approx 4,78.

Passo 3

Para (b) bissecção em [x_{l},x_{u}]=[-1,0]:
definimos
x_{r} = \frac{x_{l}+x_{u}}{2},
avaliamos f(x_{r}) e trocamos o limite cujo valor de f tenha o mesmo sinal de f(x_{r}).
Calculamos até que o erro relativo aproximado
\varepsilon_a = \Bigl|\frac{x_{r}^{(k)}-x_{r}^{(k-1)}}{x_{r}^{(k)}}\Bigr|
seja inferior a 1\%.
Algumas iterações:
\begin{array}{llll} k & [x_{l},x_{u}] & x_{r} & f(x_{r})\\hline 1 & [-1,\,0] & -0,50000 & +3,34375\\\\ 2 & [-0,500,\,0] & -0,25000 & -5,58203\\\\ 3 & [-0,500,\, -0,250] & -0,37500 & -1,44823\\\\ 4 & [-0,500,\, -0,375] & -0,43750 & +0,86768\\\\ 5 & [-0,4375,\, -0,375] & -0,40625 & -0,31372\\\\ 6 & [-0,4375,\, -0,40625] & -0,42188 & +0,25676\\\\ 7 & [-0,42188,\, -0,40625] & -0,41406 & -0,02201\\\\ 8 & [-0,42188,\, -0,41406] & -0,41797 & +0,12305 \end{array}
Na iteração 8 o erro relativo entre x_{r}^{(8)}=-0,41797 e x_{r}^{(7)}=-0,41406 é
\varepsilon_a =\frac{0,41797-0,41406}{0,41797}\approx0,94\%<1\%.
Logo a primeira raiz por bissecção é
x\approx -0,41797.

Passo 4

Para (c) falsa posição em [-1,0]:
usamos
x_{r} = x_{u} - f(x_{u})\, \frac{x_{l}-x_{u}}{f(x_{l})-f(x_{u})},
manutenção do intervalo pelo mesmo critério de sinal e erro relativo abaixo de 1\%.
Algumas iterações:
\begin{array}{llll} k & [x_{l},x_{u}] & x_{r} & f(x_{r})\\hline 1 & [-1,\,0] & -0,28769 & -4,4060\\\\ 2 & [-1,\,-0,28769] & -0,37960 & -1,3155\\\\ 3 & [-1,\,-0,37960] & -0,40586 & -0,3061\\\\ 4 & [-1,\,-0,40586] & -0,41192 & -0,1017\\\\ 5 & [-1,\,-0,41192] & -0,41394 & -0,0254\\\\ 6 & [-1,\,-0,41394] & -0,41445 & -0,0057 \end{array}
Na iteração 6 o erro relativo entre -0,41445 e -0,41394 é
\approx0,12\%<1\%.
Assim a primeira raiz por falsa posição é
x\approx -0,41445.

Resposta

(a) Graficamente as raízes são aproximadamente
x_{1}\approx -0,42,\quad x_{2}\approx 2,20,\quad x_{3}\approx 4,78.
(b) Bissecção: x\approx -0,41797.
(c) Falsa posição: x\approx -0,41445.

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