5.1 Determine as raízes reais de f(x)=-0,5 x^{2}+2,5 x+4,5 :
(a) Graficamente.
(b) Usando a fórmula quadrática.
(c) Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais x_{l}=5 e x_{u}=10. Calcule o erro estimado \varepsilon_{a} e o erro verdadeiro \varepsilon_{t} depois de cada iteração.

Passo 1

O enunciado pede as raízes reais da função
f(x) = -0{,}5\,x^{2} + 2{,}5\,x + 4{,}5
de três maneiras:
• (a) graficamente, para ter uma ideia aproximada das interseções com o eixo x;
• (b) analiticamente, usando a fórmula quadrática;
• (c) numericamente, aproximando a maior raiz pelo método da bissecção em três iterações no intervalo inicial x_{l}=5, x_{u}=10, calculando em cada iteração o ponto médio x_{m}, o erro estimado \varepsilon_{a} e o erro verdadeiro \varepsilon_{t}.

Passo 2

Para (a), você esboça o gráfico de f, que é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^2 negativo). Observa onde ela cruza o eixo x. Esses cruzamentos são aproximadamente
x \approx -1{,}405 \quad\text{e}\quad x \approx 6{,}405.

Passo 3

Para (b), aplicamos a fórmula quadrática. Escrevendo
a = -0{,}5,\quad b = 2{,}5,\quad c = 4{,}5,
o discriminante é
\Delta = b^{2} - 4 a c = (2{,}5)^{2} - 4(-0{,}5)(4{,}5) = 6{,}25 + 9 = 15{,}25.
Então as raízes são
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2{,}5 \pm \sqrt{15{,}25}}{-1} = \frac{2{,}5 \mp \sqrt{15{,}25}}{1}.
Isto dá numericamente
x_1 = \frac{2{,}5 - 3{,}905}{1} \approx -1{,}405, \quad x_2 = \frac{2{,}5 + 3{,}905}{1} \approx 6{,}405.

Passo 4

Para (c), aplicamos o método da bissecção em três iterações buscando a maior raiz. Inicialmente
x_{l} = 5,\; f(5)=4{,}5>0, \quad x_{u}=10,\; f(10)=-20{,}5<0.
Há troca de sinal, logo a raiz está em [5,10]. Em cada iteração calculamos
\displaystyle x_{m}=\frac{x_{l}+x_{u}}{2},
\varepsilon_{a}=\frac{x_{u}-x_{l}}{2} e
\varepsilon_{t}=|x_{\text{verd}}-x_{m}|, onde x_{\text{verd}}\approx6{,}405.
Iterações:
  1. x_{m1}=(5+10)/2=7{,}5,
    f(7{,}5)=-4{,}875<0 → nova faixa [5,7{,}5],
    \varepsilon_{a1}=(10-5)/2=2{,}5,
    \varepsilon_{t1}=|6{,}405-7{,}5|\approx1{,}095.
  2. x_{m2}=(5+7{,}5)/2=6{,}25,
    f(6{,}25)=0{,}59375>0 → nova faixa [6{,}25,7{,}5],
    \varepsilon_{a2}=(7{,}5-5)/2=1{,}25? Não: agora usamos a largura da faixa atual, então
    \varepsilon_{a2}=(7{,}5-6{,}25)/2=0{,}625,
    \varepsilon_{t2}=|6{,}405-6{,}25|\approx0{,}155.
  3. x_{m3}=(6{,}25+7{,}5)/2=6{,}875,
    f(6{,}875)=-1{,}9453125<0 → nova faixa [6{,}25,6{,}875],
    \varepsilon_{a3}=(6{,}875-6{,}25)/2=0{,}3125,
    \varepsilon_{t3}=|6{,}405-6{,}875|\approx0{,}470.

Resposta

(a) As raízes gráficas são aproximadamente
x \approx -1{,}405 \quad\text{e}\quad x \approx 6{,}405.
(b) Pela fórmula quadrática
x = \frac{2{,}5 \mp \sqrt{15{,}25}}{1},
isto é
x_{1}\approx -1{,}405, \quad x_{2}\approx 6{,}405.
(c) Tabela das três iterações do método da bissecção para a maior raiz:
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \text{it} & x_{l} & x_{u} & x_{m} & \varepsilon_{a} & \varepsilon_{t} \\\ \hline 1 & 5 & 10 & 7{,}5 & 2{,}5 & 1{,}095 \\\\ 2 & 5 & 7{,}5 & 6{,}25 & 0{,}625 & 0{,}155 \\\\ 3 & 6{,}25& 7{,}5 & 6{,}875 & 0{,}3125 & 0{,}470 \\\ \end{array}

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