5.1 Determine as raízes reais de
:
(a) Graficamente.
(b) Usando a fórmula quadrática.
(c) Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais
e
. Calcule o erro estimado
e o erro verdadeiro
depois de cada iteração.
(a) Graficamente.
(b) Usando a fórmula quadrática.
(c) Usando três iterações do método da bissecção para determinar a maior raiz. Use as aproximações iniciais
Passo 1
O enunciado pede as raízes reais da função
de três maneiras:
• (a) graficamente, para ter uma ideia aproximada das interseções com o eixo ;
• (b) analiticamente, usando a fórmula quadrática;
• (c) numericamente, aproximando a maior raiz pelo método da bissecção em três iterações no intervalo inicial ,
, calculando em cada iteração o ponto médio
, o erro estimado
e o erro verdadeiro
.
• (a) graficamente, para ter uma ideia aproximada das interseções com o eixo
• (b) analiticamente, usando a fórmula quadrática;
• (c) numericamente, aproximando a maior raiz pelo método da bissecção em três iterações no intervalo inicial
Passo 2
Para (a), você esboça o gráfico de
, que é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de
negativo). Observa onde ela cruza o eixo
. Esses cruzamentos são aproximadamente
Passo 3
Para (b), aplicamos a fórmula quadrática. Escrevendo
o discriminante é
Então as raízes são
Isto dá numericamente
Passo 4
Para (c), aplicamos o método da bissecção em três iterações buscando a maior raiz. Inicialmente
Há troca de sinal, logo a raiz está em
. Em cada iteração calculamos
,
e
, onde
.
Iterações:
-
,
→ nova faixa ,
,
. -
,
→ nova faixa ,
? Não: agora usamos a largura da faixa atual, então
,
. -
,
→ nova faixa ,
,
.
Resposta
(a) As raízes gráficas são aproximadamente
(b) Pela fórmula quadrática
isto é
(c) Tabela das três iterações do método da bissecção para a maior raiz: