5.5 Localize a primeira raiz não-trivial de \operatorname{sen} x=x^{3}, onde x está em radianos. Use uma técnica gráfica e a bissecção com o intervalo inicial de 0,5 a 1 . Faça os cálculos até que \varepsilon_{a} seja menor do que \varepsilon_{s}=2 \%. Faça também uma verificação do erro substituindo sua resposta final na equação original.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primeira raiz não-trivial de
\operatorname{sen} x = x^{3},
usando primeiro uma ideia gráfica e depois o método da bissecção no intervalo inicial [0,5,\,1]. Vamos parar quando o erro aproximado \varepsilon_{a} ficar abaixo de \varepsilon_{s}=2\% e, por fim, verificar o erro substituindo a resposta na equação original.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \operatorname{sen} x - x^{3}.
Graficamente, \operatorname{sen} x cresce inicialmente quase linear e x^{3} cresce mais devagar até cruzarem em algum x>0. Pelo esboço de y=\operatorname{sen} x e y=x^3 vemos que esse ponto de interseção está entre 0{,}5 e 1.

Passo 3

Aplicamos o Teorema do Valor Intermediário em [0,5,\,1]:
f(0,5)=\operatorname{sen}(0,5)-0,5^{3}\approx0,4794-0,125=0,3544>0,
f(1)=\operatorname{sen}(1)-1^{3}\approx0,8415-1=-0,1585<0.
Como f(0,5)\cdot f(1)<0, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora fazemos as iterações da bissecção até \varepsilon_{a}<2\%. Seja a_0=0,5, b_0=1.
1. c_1=(0,5+1)/2=0,75.
\,f(c_1)=\operatorname{sen}(0,75)-0,75^3\approx0,6816-0,4219=0,2597>0.
Intervalo novo: [a_1,b_1]=[0,75,\,1].
2. c_2=(0,75+1)/2=0,875.
\,f(c_2)\approx0,7675-0,6699=0,0976>0.
Intervalo novo: [0,875,\,1].
3. c_3=(0,875+1)/2=0,9375.
\,f(c_3)\approx0,8060-0,8249=-0,0189<0.
Intervalo novo: [0,875,\,0,9375].
4. c_4=(0,875+0,9375)/2=0,90625.
\,f(c_4)\approx0,7885-0,7441=0,0444>0.
Intervalo novo: [0,90625,\,0,9375].
5. c_5=(0,90625+0,9375)/2=0,921875.
\,f(c_5)\approx0,7974-0,7830=0,0144>0.
Intervalo novo: [0,921875,\,0,9375].
O erro aproximado entre c_5 e c_4 é
\varepsilon_a = \left|\frac{c_5 - c_4}{c_5}\right|\times100\% = \left|\frac{0,921875 - 0,90625}{0,921875}\right|\times100\%\approx1,7\% < 2\%.
Logo, podemos parar em x^* = 0,921875.

Passo 5

Verificação do erro na equação original:
\operatorname{sen}(0,921875)\approx0,7974 e (0,921875)^3\approx0,7830.
A diferença é
\operatorname{sen}(x^*) - (x^*)^3 \approx 0,7974 - 0,7830 = 0,0144,
que mostra que o resíduo é pequeno e consistente com a tolerância do método.

Resposta

A primeira raiz não-trivial aproximada é
x \approx 0,921875.

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