Determine os reais x e y números reais de modo:
[
\left{ c 4^x2^x+y=8 9^x+y3^5 y=243 \right.

Passo 1

Beleza, a questão é este sistema de equações exponenciais:
4^x2^,x+y = 8, [6pt] 9^,x+y3^,5y = 243
Conteúdo: propriedades de potências e resolução de sistema linear.
O que vamos usar:
  • a^m / a^n = a^m-n;
  • (a^b)^c = a^bcdot c;
  • Reescrever bases (por exemplo, 4=2^2, 9=3^2, 8=2^3, 243=3^5).
    Depois disso, sobra um sisteminha de duas equações lineares em x e y.

Passo 2

Trata a primeira equação:
4^x2^,x+y = 8
Primeiro, escrevo tudo em base 2:
4^x = (2^2)^x = 2^2x,
8 = 2^3.
Então
2^2x2^,x+y =2^,2x - (x+y) =2^,x - y =2^3
Isso dá a equação simples
x - y = 3

Passo 3

Agora a segunda:
9^,x+y3^,5y = 243
Reescrevo em base 3:
9^{,x+y} = (3^2)^,x+y = 3^,2(x+y),
243 = 3^5.
Logo
3^,2(x+y)3^,5y =3^,2(x+y) - 5y =3^,2x +2y -5y =3^,2x -3y =3^5
Fica a equação
2x - 3y = 5

Passo 4

Temos então o sistema linear
x - y = 3, 2x - 3y = 5
Da primeira, x = y + 3. Substitui na segunda:
2(y+3) - 3y = 5 ;Longrightarrow; 2y + 6 - 3y = 5 ;Longrightarrow; -y +6 =5 ;Longrightarrow; y = 1
E daí x = 1 + 3 = 4.

Resposta

x = 4 e y = 1.

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