Prove que
é divisível por
, se
for ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sempre que
for ímpar, a expressão
é divisível por
Isso cai no assunto de divisibilidade de polinômios e usa o Teorema do Fator (ou do Resto), que diz: se um polinômio
satisfaz
, então
é fator de
.
Passo 2
Como
é ímpar, podemos escrever
para algum
. Definimos o polinômio em
Agora avaliaremos
em
. Como
é ímpar, tem-se
logo
Passo 3
Do fato de
e pelo Teorema do Fator, concluímos que
é fator de
. Ou seja, existe um polinômio
tal que
Bastando então substituir
, obtemos
o que mostra que
é divisível por
.
Passo 4
Para deixar tudo bem explícito, podemos escrever o quociente
na sua forma usual de soma alternada de potências:
Essa identidade expõe diretamente a fatoração e confirma a divisibilidade.
Resposta
Fica demonstrado que, sempre que
for ímpar,
é divisível por