Prove que
a^{n}+b^{n} é divisível por a+b, se n for ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que n for ímpar, a expressão
a^{n} + b^{n}
é divisível por
a + b.
Isso cai no assunto de divisibilidade de polinômios e usa o Teorema do Fator (ou do Resto), que diz: se um polinômio P(x) satisfaz P(r)=0, então x - r é fator de P(x).

Passo 2

Como n é ímpar, podemos escrever n = 2k+1 para algum k\in\mathbb{Z}. Definimos o polinômio em x
P(x) = x^n + b^n.
Agora avaliaremos P em x=-b. Como n é ímpar, tem-se
(-b)^n = -\,b^n,
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P(-b) = (-b)^n + b^n = -b^n + b^n = 0.

Passo 3

Do fato de P(-b)=0 e pelo Teorema do Fator, concluímos que
x - (-b)\;=\;x + b
é fator de P(x). Ou seja, existe um polinômio Q(x) tal que
x^n + b^n = (x + b)\,Q(x).
Bastando então substituir x=a, obtemos
a^n + b^n = (a + b)\,Q(a),
o que mostra que a^n + b^n é divisível por a + b.

Passo 4

Para deixar tudo bem explícito, podemos escrever o quociente Q(x) na sua forma usual de soma alternada de potências:
a^n + b^n = (a + b)\bigl(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \cdots + b^{n-1}\bigr).
Essa identidade expõe diretamente a fatoração e confirma a divisibilidade.

Resposta

Fica demonstrado que, sempre que n for ímpar,
a^{n} + b^{n}
é divisível por
a + b.

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