Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=(-1)^nn+2 Resp. 2

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a sequência
an = (-1)^nn ;+; 2
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, queremos o valor do limite.
Conteúdo: conceito de limite de sequência e propriedades básicas de limites (soma e Teorema do Confronto). Vamos usar:
  1. Saber que quando , .
  2. O Teorema do Confronto para mostrar .
  3. A propriedade de que o limite de uma soma é a soma dos limites.

Passo 2

Estudando só o termo l|tfrac(-1)^nnr| ;=;tfrac1n :
  • O numerador -,1n;<=;(-1)^nn;<=;1n, oscila entre limntoinfty(-1)^nn = 0 e .
  • O denominador fica cada vez maior.
    Logo, o valor absoluto é
Como sabemos que , e
pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Aperto) concluímos

Passo 3

Agora voltando à sequência completa
an ;=;(-1)^nn ;+;2,
usamos a propriedade de limites que diz: se lim,(bn + c) ;=; L + c e limntoinftyan ;=; 0 ;+; 2 ;=;2 é constante, então
Aqui tem limite e . Logo

Resposta

A sequência converge e seu limite é .

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