Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 1n^1,0001

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty1n^1,0001
é convergente ou divergente.
O conteúdo aqui é o teste da p-série, segundo o qual a série
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Comparando com a p-série, temos p=1,0001. Como
1,0001>1,
a série converge by the p-série test.

Passo 3

Quando p>1, a soma da p-série é exatamente a função zeta de Riemann em p, isto é,
sumn=1^infty1n^p=zeta(p)
Aqui, com p=1,0001,
sumn=1^infty1n^1,0001=zeta(1,0001)
Para efeito de ordem de grandeza, perto de p=1 temos zeta(1+varepsilon)approx1varepsilon+gamma ( gamma é a constante de Euler–Mascheroni), de modo que
zeta(1,0001)approx10,0001+gammaapprox10000,577

Resposta

A série converge e sua soma é
sumn=1^infty1n^1,0001=zeta(1,0001)approx10000,577

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