Determine as séries de Fourier das seguintes funções que possuem período 2 \pi.
f(x)=x|x| \quad(-\pi<x<\pi)

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi da função
f(x)=x\lvert x\rvert,\quad -\pi<x<\pi.
O conteúdo aqui é série de Fourier de funções periódicas, em particular vamos usar que f é ímpar para simplificar a forma da série.

Passo 2

Observamos a paridade de f. Para x>0 temos f(x)=x^2 e para x<0 temos f(x)= -x^2, logo
f(-x)=-f(x),
ou seja, f é ímpar. Numa série de Fourier isso implica a_0=0 e a_n=0 para todo n, sobrando apenas termos em \sin(nx).

Passo 3

A fórmula dos coeficientes de seno para período 2\pi é
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,\mathrm{d}x.
Como f e \sin(nx) são ímpares, o produto é par, e podemos dobrar a integral de 0 a \pi:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\,\sin(nx)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Vamos calcular
I=\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,\mathrm{d}x
por partes duas vezes. O resultado é
I=-\frac{\pi^2(-1)^n}{n}\;-\;\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n^3}.

Passo 5

Substituindo em b_n temos
b_n=\frac{2}{\pi}\,I =-\frac{2\pi(-1)^n}{n}\;-\;\frac{4\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi\,n^3}.
Portanto a série de Fourier de f é
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) \quad\text{com}\quad b_n=-\frac{2\pi(-1)^n}{n}-\frac{4\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi n^3}.

Resposta

x\lvert x\rvert =\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl(-\frac{2\pi(-1)^n}{n} -\frac{4\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi\,n^3}\Biggr)\sin(nx).

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