Determine as séries de Fourier das funções periódicas de Período T :
f(t)=0 \quad(-2<t<0) ; f(t)=1 \quad(0<t<2), \quad T=4

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de uma função periódica de período T=4 definida por \;f(t)=0 para -2<t<0 e \;f(t)=1 para 0<t<2.
O conteúdo é Série de Fourier de função de período T. Vamos aplicar a fórmula
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\bigr)
e calcular a_0, a_n e b_n.

Passo 2

Definimos
L=\frac{T}{2}=2, \quad \omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}
e os coeficientes por
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\cos\bigl(n\omega_0t\bigr)\,dt, \quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\sin\bigl(n\omega_0t\bigr)\,dt, \quad a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(t)\,dt.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0 =\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(t)\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}1\,dt =\frac{1}{2}\cdot2 =1.

Passo 4

Cálculo de a_n (para n\ge1):
a_n =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\cos\Bigl(n\frac{\pi}{2}t\Bigr)\,dt =\frac{1}{2}\Bigl[\frac{2}{n\pi}\sin\Bigl(n\frac{\pi}{2}t\Bigr)\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi) =0.

Passo 5

Cálculo de b_n (para n\ge1):
b_n =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sin\Bigl(n\frac{\pi}{2}t\Bigr)\,dt =\frac{1}{2}\Bigl[-\frac{2}{n\pi}\cos\Bigl(n\frac{\pi}{2}t\Bigr)\Bigr]_{0}^{2} =-\frac{1}{n\pi}\bigl[\cos(n\pi)-\cos(0)\bigr] =\frac{1}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Note que \;1-(-1)^n=0 se n é par e =2 se n é ímpar.

Passo 6

Como a_0=1, a_n=0 e b_n=\frac{1-(-1)^n}{n\pi}, a série fica
f(t) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\Bigl(n\frac{\pi}{2}t\Bigr) =\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n\pi}\,\sin\Bigl(n\frac{\pi}{2}t\Bigr).
Em particular, só os termos ímpares aparecem, pois para n=2k+1 temos \;b_{2k+1}=\frac{2}{(2k+1)\pi}.

Resposta

\boxed{ f(t) =\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n\pi}\, \sin\!\Bigl(n\frac{\pi}{2}t\Bigr) }
ou, escrevendo apenas termos ímpares,
f(t) =\frac12 +\sum_{k=0}^{\infty}\frac{2}{(2k+1)\pi}\, \sin\!\Bigl((2k+1)\tfrac{\pi}{2}t\Bigr).

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