Determine as séries de Fourier das funções periódicas de Período T :
f(t)=1 \quad(-1<t<1) ; f(t)=0 \quad(1<t<3), \quad T=4

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período T=4\) da função \(f(t)\) que vale \[f(t)=\begin{cases} 1,&-1<t<1,\\\\ 0,&1<t<3, \end{cases}
e se estende periodicamente de período 4\]. Vamos trabalhar no intervalo \([-1,3].

Passo 2

A série de Fourier de uma função de período T pode ser escrita como
f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\Bigr),
onde
\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2},
a_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{3}f(t)\cos(n\omega_0 t)\,\mathrm dt, \quad b_n=\frac{2}{T}\int_{-1}^{3}f(t)\sin(n\omega_0 t)\,\mathrm dt,
e
a_0=\frac{2}{T}\int_{-1}^{3}f(t)\,\mathrm dt.

Passo 3

Cálculo de a_0:
a_0=\frac{2}{4}\int_{-1}^{3}f(t)\,\mathrm dt =\tfrac12\int_{-1}^{1}1\,\mathrm dt =\tfrac12\cdot2 =1.
Logo o termo constante é \tfrac{a_0}{2}=\tfrac12.

Passo 4

Cálculo de a_n: como f(t)=0 fora de [-1,1],
a_n =\frac{2}{4}\int_{-1}^{1}\cos\!\bigl(n\tfrac{\pi}{2}t\bigr)\,\mathrm dt =\tfrac12\Biggl[\frac{\sin(n\frac{\pi}{2}t)}{n\frac{\pi}{2}}\Biggr]_{t=-1}^{t=1} =\tfrac12\cdot\frac{2}{n\pi}\Bigl[\sin(\tfrac{n\pi}{2})-\sin(-\tfrac{n\pi}{2})\Bigr] =\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Passo 5

Cálculo de b_n:
b_n =\frac{2}{4}\int_{-1}^{1}\sin\!\bigl(n\tfrac{\pi}{2}t\bigr)\,\mathrm dt =\tfrac12\Bigl[-\frac{\cos(n\frac{\pi}{2}t)}{n\frac{\pi}{2}}\Bigr]_{-1}^{1} =\tfrac12\cdot\frac{-2}{n\pi}\bigl[\cos(\tfrac{n\pi}{2})-\cos(-\tfrac{n\pi}{2})\bigr] =0,
pois \cos é par.

Passo 6

Juntando tudo, a série de Fourier fica
f(t) =\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}t\Bigr),
com b_n=0.

Resposta

f(t) =\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{2}t\Bigr).

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