As raízes de f(x)=\ln (x)-x+2=0 podem ser determinadas usando o MPF
Considerando os processo iterativos:
x_{i+1}=e^{x_{i}-2}
Usando o critério de convergência do método do ponto fixo, analise os processos interativos dados e verifique qual deles possui convergência para as raízes da equação e, a partir de uma solução inicial dada, determine as raízes.
Passo 1
O enunciado quer as soluções de
f(x)=\ln(x)-x+2=0
usando o método do ponto fixo (MPF). Para isso precisamos reescrever f(x)=0 como x=g(x). Dois formatos típicos são
Vamos aplicar o critério de convergência do MPF em cada um e então iterar para obter as duas raízes.
Passo 2
O critério de convergência local é \bigl|g'(x^*)\bigr|<1 no ponto fixo x^*.
Para
g_1(x)=e^{\,x-2},
temos
g_1'(x)=e^{\,x-2},
então a condição \bigl|g_1'(x)\bigr|<1 equivale a
e^{\,x-2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad x<2.
Para
g_2(x)=\ln(x)+2,
temos
g_2'(x)=\frac1{x},
logo \bigl|g_2'(x)\bigr|<1 dá
\frac1{x}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad x>1.
Passo 3
Agora, supondo que existem duas raízes reais x_a<x_b, aproximamo-las graficamente ou por inspeção: x_a \approx 0,1586 e x_b \approx 3,146.
Para x_a\approx0,1586 vale x_a<2 mas x_a<1, então \bigl|g_1'(x_a)\bigr|<1 e \bigl|g_2'(x_a)\bigr|=1/x_a>1. Concluímos que g_1 converge para x_a e g_2 diverge.
Para x_b\approx3,146 vale x_b>2 e x_b>1, então \bigl|g_1'(x_b)\bigr|=e^{\,x_b-2}>1 e \bigl|g_2'(x_b)\bigr|=1/x_b<1. Assim, g_2 converge para x_b e g_1 diverge.
Passo 4
Iteramos cada processo até tolerância 10^{-4}:
Para a raiz menor com g_1, tome x_0=1: x_1=e^{1-2}=0,3679 x_2=e^{0,3679-2}=0,1956 x_3=e^{0,1956-2}=0,1646 x_4=e^{0,1646-2}=0,1596 x_5=e^{0,1596-2}=0,1591 x_6=e^{0,1591-2}=0,1590
Converge para
x_a\approx0,1590.
Para a raiz maior com g_2, tome x_0=4: x_1=\ln(4)+2=3,3863 x_2=\ln(3,3863)+2=3,2180 x_3=\ln(3,2180)+2=3,1701 x_4=\ln(3,1701)+2=3,1444 x_5=\ln(3,1444)+2=3,1460 x_6=\ln(3,1460)+2=3,1460
Converge para
x_b\approx3,1460.
Resposta
As raízes de \ln(x)-x+2=0 são aproximadamente
x\approx0,1590 \quad\text{e}\quad x\approx3,1460.
O processo x_{i+1}=e^{x_i-2} converge para a menor raiz, e x_{i+1}=\ln(x_i)+2 converge para a maior.