Resolva as equações:
.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os números complexos
que satisfazem a equação
Informações dadas:
- O número
é um real positivo. - Queremos todas as soluções complexas
(ou seja, todas as raízes quartas de ).
Passo 2
Vou explicar a técnica que vou usar (passo a passo, bem didático).
- Representação polar de um número complexo. Qualquer número complexo
pode ser escrito como
onde:
-
é o módulo (distância do ponto ao origem) e . -
é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo).
A fórmula de Euler diz que.
- Potências em forma polar (fórmula de De Moivre). Se
então, para inteiro ,
Isto é útil porque a potência afeta separadamente o módulo (eleva a
-ésima potência) e o argumento (multiplica por
).
- Raízes
-ésimas. Se queremos resolver com conhecido, as soluções são
A razão do termo
é que os argumentos são definidos módulo
:
pode ser substituído por
sem mudar
. Tomamos
para obter as
raízes distintas.
Passo 3
Aplicando isso à nossa equação
.
- Escrever
em forma polar. Como é real e positivo, podemos escrever
- Usar a fórmula das raízes quartas (
, , ):
Aqui calculei
.
- Obter as raízes distintas tomando
(valores seguintes repetem as raízes porque o argumento é periódico de período ):
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Verificação geral (rápida): para
,
porque
para inteiro
. Portanto todas as quatro soluções estão corretas.
Passo 5
Observação alternativa (fatoração): pode-se também ver
o que dá as mesmas raízes
e
.