Resolva as equações:
z^{4}=16.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os números complexos z que satisfazem a equação
z^{4}=16.
Informações dadas:
  • O número 16 é um real positivo.
  • Queremos todas as soluções complexas z (ou seja, todas as raízes quartas de 16).

Passo 2

Vou explicar a técnica que vou usar (passo a passo, bem didático).
  1. Representação polar de um número complexo. Qualquer número complexo z pode ser escrito como
z = r e^{i\theta},
onde:
  • r=|z| é o módulo (distância do ponto ao origem) e r\ge 0.
  • \theta=\arg(z) é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo).
    A fórmula de Euler diz que e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta.
  1. Potências em forma polar (fórmula de De Moivre). Se z=r e^{i\theta} então, para inteiro n,
z^{n}=r^{n} e^{i n\theta}.
Isto é útil porque a potência afeta separadamente o módulo (eleva a n-ésima potência) e o argumento (multiplica por n).
  1. Raízes n-ésimas. Se queremos resolver w=z^{n} com w=R e^{i\Phi} conhecido, as soluções são
z = R^{1/n} e^{i\left(\dfrac{\Phi+2\pi k}{n}\right)},\qquad k\in\mathbb{Z}.
A razão do termo 2\pi k é que os argumentos são definidos módulo 2\pi: \Phi pode ser substituído por \Phi+2\pi k sem mudar w. Tomamos k=0,1,\dots,n-1 para obter as n raízes distintas.

Passo 3

Aplicando isso à nossa equação z^{4}=16.
  1. Escrever 16 em forma polar. Como 16 é real e positivo, podemos escrever
16 = 16 e^{i\cdot 0} = 16 e^{i(0+2\pi k)},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  1. Usar a fórmula das raízes quartas ( n=4, R=16, \Phi=0):
z = 16^{1/4} e^{i\left(\dfrac{0+2\pi k}{4}\right)} = 2\, e^{i\left(\dfrac{\pi k}{2}\right)},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Aqui calculei 16^{1/4}=(2^{4})^{1/4}=2.
  1. Obter as raízes distintas tomando k=0,1,2,3 (valores seguintes repetem as raízes porque o argumento é periódico de período 2\pi):
  • Para k=0:
z_{0}=2 e^{i\cdot 0}=2.
  • Para k=1:
z_{1}=2 e^{i\pi/2}=2\big(\cos\tfrac{\pi}{2}+i\sin\tfrac{\pi}{2}\big)=2i.
  • Para k=2:
z_{2}=2 e^{i\pi}=2(\cos\pi + i\sin\pi)=-2.
  • Para k=3:
z_{3}=2 e^{i3\pi/2}=2\big(\cos\tfrac{3\pi}{2}+i\sin\tfrac{3\pi}{2}\big)=-2i.

Passo 4

Verificação geral (rápida): para z_{k}=2 e^{i\pi k/2},
z_{k}^{4} = 2^{4} e^{i 4(\pi k/2)} = 16 e^{i 2\pi k} = 16\cdot 1 = 16,
porque e^{i2\pi k}=1 para inteiro k. Portanto todas as quatro soluções estão corretas.

Passo 5

Observação alternativa (fatoração): pode-se também ver
z^{4}-16=(z^{2}-4)(z^{2}+4)=(z-2)(z+2)(z-2i)(z+2i),
o que dá as mesmas raízes \pm 2 e \pm 2i.

Resposta

2
2i
-2
-2i

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